Bauhaus-Universität Weimar

üeber die mathematische Induction. 
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tische und synthetische Methode unterscheidet, schliesst er sich zwar 
mit diesen Bezeichnungen an Euklid an, aber er gibt den Be¬ 
griffen zum Theil einen anderen Inhalt. Bei Euklid sind Analysis 
und Synthesis Unterformen der syllogistischen Beweismethode. Bei 
der Analysis nimmt man das zu beweisende als zugestanden an 
und zeigt, dass die daraus gezogenen Folgerungen mit allgemein 
als wahr anerkannten Sätzen übereinstimmen. Bei der Synthesis 
geht man von als wahr anerkannten Sätzen aus und zeigt, dass 
die Folgerungen den zu beweisenden Satz enthalten.1) Beide Me¬ 
thoden, deren Unterscheidung in der hier hervorgehobenen Bedeu¬ 
tung übrigens auf Plato zurückgeht, fügen sich bei Euklid in das 
nämliche vielgliederige Schema von Definitionen, Axiomen, Theoremen 
und Problemen, und es ist klar, dass in beiden Fällen der zu be¬ 
weisende Satz existiren muss, ehe der Beweis angetreten wird. 
Zugleich hat die synthetische Methode einen unverkennbaren Vor¬ 
zug dadurch, dass sie stets zu einem bindenden Beweis führt, wäh¬ 
rend das analytische Verfahren nur dann unbedingt richtige Folge¬ 
rungen gestattet, wenn der Beweis ein indirecter oder apagogischer 
’ist. Der directe analytische Beweisgang dagegen wird nur in dem 
Falle zwingend, wenn das Verhältniss von Grund und Folge, das 
zwischen den einzelnen Gliedern des Beweises besteht, zugleich ein 
Verhältniss der Wechselbestimmung ist, so dass die Folge als Grund 
den Grund als Folge hervorbringen würde. Gerade deshalb aber 
kann der directe analytische Beweis stets durch einen synthetischen 
ersetzt werden, wie dies Euklid selbst im Eingang seines 13. Buches 
an einem Beispiel erläutert. Man wird darum hier im allgemeinen 
den synthetischen Beweis vorziehen. Die Prüfung der Frage, ob 
die gegebenen Verhältnisse von Grund und Folge zugleich solche 
der Wechselbestimmung seien, fällt bei ihm von vornherein hin¬ 
weg. So bleibt denn auch bei Euklid dem analytischen Verfahren 
hauptsächlich das Gebiet der apagogischen Beweisführungen Vorbe¬ 
halten, Beweisführungen, die sich zumeist auf Sätze beziehen, die 
an unmittelbarer Evidenz den Axiomen so nahe stehen, dass man 
zweifeln kann, ob siè nicht ebenso unmittelbar gewiss sind wie die 
Axiome selbst, die zu ihrer Demonstration gebraucht werden. 
1) Euklid’s Elemente, XIII, 1.
        

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