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Walter Brix. 
sie das einzige begrenzte Zahlsystem mit commutativer Multiplica¬ 
tion darstellen und deshalb äußerlich ganz dem reellen Größen¬ 
system gleichen. Im übrigen ist in dieser Beziehung wohl schon 
vielfach vorgearbeitet worden, aber ein vorläufiger Abschluss für’s 
erste nicht zu erwarten. Eine weitere Determination und Classifi¬ 
cation der Zahlsysteme bietet daher bei dem gegenwärtigen Stand 
der Frage noch so große Schwierigkeiten, dass man sie vorläufig 
wird aufschieben müssen. 
Ist aber einerseits die mathematische Ausbildung der Zahlgröße 
noch nicht im Stande, eine weitere logische Behandlung zuzulassen, 
so ist es dagegen unbedingt nothwendig, zum Schluss noch einmal 
auf die begrifflichen Gegensätze in derselben, namentlich auf den 
Unterschied von contiuuirlich und discontinuirlich hier näher ein¬ 
zugehen, der zwar in Wahrheit ganz fundamental, bisher aber doch 
noch immer unter der Oberfläche verborgen geblieben ist. Da je¬ 
doch alle M-dimensionalen Mannigfaltigkeiten sich immer auf eine 
lineare derselben Mächtigkeit reduciren lassen, so können wir die 
ganze Frage im wesentlichen auf die reellen Zahlgrößen beschränken. 
Die Specialisirung der vier Mannigfaltigkeitstypen führt un¬ 
mittelbar in ihrer qualitativ-quantitativen Determination auf die vier 
entsprechenden Typen der Zahlgröße, welche wir mit W un d t ') als 
Zahlarten unterscheiden können. Der erste Typus liefert unmittel¬ 
bar die Größeneinheit, der zweite die ganze und zwar, da es sich 
hier um Größen handelt, nicht die absolute, sondern die benannte 
ganze Zahl, der dritte ferner eine allgemein discrete und der vierte 
die stetige Zahlgröße. Und wie die höheren Mannigfaltigkeiten 
immer alle niedrigeren umschließen, so sind auch hier die vorher¬ 
gehenden Zahlarten vollständig in den folgenden enthalten. 
So lange es sich nun allein um die formale Verknüpfung selbst 
handelt, sind alle einzelnen Begriffe als gleichartig zu betrachten 
und zeigen keine Verschiedenheit; sobald dagegen der Begriff der 
Größe den der Zahl zurückdrängt, müssen ihre Unterschiede auch 
wieder in den Vordergrund treten. Indessen bringt es wiederum 
die mathematische Behandlung mit sich, dass zwar der vierte Typus 
gegen die drei anderen sehr erheblich, der dritte aber gegen die 
1) Wundt, Logik II, S. 119.