Volltext: Der mathematische Zahlbegriff und seine Entwicklungsformen, Schluss (6)

Der mathematische Zahlbegriff und seine Entwicklungsformen. 323 
viel Dimensionen besitzen. Wie aber andererseits alle Mannigfaltig¬ 
keiten sich auf lineare eindeutig abbilden lassen, so genügt auch 
die Betrachtung einer einfach ausgedehnten Größenreihe, um dann 
mühelos auf beliebig viele Dimensionen übertragen zu werden. 
Die hier angedeutete Untersuchung setzt aber schon nothwendig 
eine Anwendung der Formenlehre auf den Größenbegriff voraus, 
welche zwar auch eine selbständige, eigenartige sein kann, aber 
doch fast immer auf den Zahlcharakter zurückgreift. Wir werden 
deshalb jetzt zu der Fixirung des Zahlbegriffs genöthigt. 
Den Zahlbegriff werden wir nun in dieser Betrachtung keines¬ 
wegs als einen Ueher- oder Unterhegriff der Größe auffassen können, 
wie das sehr vielfach geschehen ist, sondern ihn formal neben die¬ 
selbe stellen. Denn während wir die Größe als die quantitative 
Determination der Mannigfaltigkeit darstellten, ist die Zahl ledig¬ 
lich als eine qualitative Determination derselben denkbar. Denn 
wir hatten ja in der genetischen Entwickelung gesehen, dass das 
einzige, was allen Zahlbegriffen gemein, was daher auch allein als 
Merkmal des allgemeinen Zahlhegriffs beizuhehalten war, die Ver¬ 
wendung als Beziehungssubstrat für die formalen arithmetischen 
Grundoperationen bildete. Nun ist aber die Mannigfaltigkeit be¬ 
stimmt als das Beziehungssubstrat für die allgemeine Formenlehre. 
Folglich wird sie unmittelbar dadurch zur Zahl, dass man die all¬ 
gemeinen Verknüpfungen als die arithmetischen Grundoperationen, 
also rein durch qualitative Determination specialisirt. 
Als solche Grundoperationen wählt man aber die Addition mit 
der Subtraction auf der einen, die Multiplication mit der Division 
auf der andern Seite. Die erste wird hier natürlich nur formal 
definirt als eine associative und commutative geschlossene Operation, 
welche also niemals über das jeweilige Mannigfaltigkeitssystem 
hinausführt, die Multiplication aber als eine in Bezug auf die Ad¬ 
dition distributive und in sich associative. Die Subtraction und 
Division sind als lytische, d. h. als Umkehrungen der thetischen 
Operationen zu bestimmen. Die wesentliche Eigenschaft der Ad¬ 
dition ist ihre Geschlossenheit und Commutativität, welche beide 
die eindeutige Umkehrung in der nur äußerlich von der Addition 
verschiedenen Subtraction bedingen. Die gleichen Verhältnisse 
treffen hei der Multiplication nicht mehr zu. Denn abgesehen
	        
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