Die Dimensionen des Baumes. 
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achtens zwei außerordentlich folgenschwere Irrthümer begangen: 
Man hat sich einej^eits nicht vergewissert, ob der Begriff der Dimen¬ 
sion, nach der ausdrücklich gegebenen oder stillschweigend acceptirten 
Definition, überhaupt eine eindeutige und widerspruchslose Anwen¬ 
dung auf den Baum und räumliche Verhältnisse zulässt; und man 
hat anderseits die herkömmliche Dreizahl der Dimensionen des ge- 
gegebenen Baumes kritiklos als etwas Selbstverständliches, in der 
Natur des Baumes liegendes angenommen, das über jeden Zweifel 
erhaben ist und keiner Untersuchung bedarf. Hier muss die Oorrectur 
einsetzen. Es muss zunächst festgestellt werden, welche Definitionen 
des Begriffs der Dimension möglich und zulässig sind und ob eine 
derselben die Anwendung dieses Begriffes auf andere Bäume als den 
gegebenen gestattet. Es muss sodann zweitens untersucht werden, 
ob die allgemein angenommene 3-Dimensionalität des Baumes unserer 
Anschauung wirklich den Charakter einer Thatsache oder gar einer 
Denknothwendigkeit bèsitzt. Der Behandlung dieser Probleme ist 
der folgende Abschnitt gewidmet. 
« 
Zweiter Theil. 
Kritik der Lehre von den Dimensionen. 
V. Definition des Dimensionsbegriffes. 
Diejenigen, die den Baum als speciellen Fall einer Mannigfaltigkeit 
höherer Ordnung ansehen, definiren eine n-fach ausgedehnte Mannig¬ 
faltigkeit als eine solche, in welcher die Beziehungen eines Elementes 
zu allen andern Elementen und zur Gesammtheit des Systems durch 
einen Ausdruck mit n von einander unabhängigen Variabein ein¬ 
deutig bestimmt ist1). Der Dimensionsbegriff, so definirt, hat mit? 
dem Baume wenig oder nichts zu thun. Allerdings kann man diei 
herkömmlichen drei Dimensionen des Baumes oder die Cartesianischen 
Coordinaten nun auch als eine solche dreifache ^Mannigfaltigkeit 
betrachten. Das gibt aber Niemand ein Becht alles, was unter 
1) Whitehead, A Treatise on Universal Algebra, p. 17.