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A. Kirschmann. 
gehören Ebene, Cylinder- und Kegelmantel) sondern lediglich eine 
Fläche bedeutet, die nicht in mehr als einer Richtung gekrümmt ist, 
sollte uns hinsichtlich des Begriffs des Krümmungsmaßes stutzig 
machen. Nimmt man aber den Begriff in dieser Fassung an und 
willigt ein, den genannten Flächen das Krümmungsmaß 0 zuzu¬ 
schreiben, und die Flächen mit dem Krümmungsmaße 0 zu den 
Flächen mit constanter Krümmung zu rechnen, dann hat man offen¬ 
bar zwei Arten von Flächen mit constanter Krümmung; eine Art 
nämlich, in welcher man jede Figur oder Curve beliebig verschieben 
und drehen kann, ohne die lineare Krümmung zu ändern (wie die 
sphärische Fläche und die Ebene), und eine andere, in welcher man 
zwar Verschiebungen in der Richtung von geodätischen Linien, nicht 
aber Drehungen und Verschiebungen in den Richtungen anderer 
Linien vornehmen kann (Kegel, Cylinder). 
Dieser weder eindeutige noch sonst einwandsfreie Begriff des 
/■ Krümmungsmaßes, der den allseitig ausgedehnten Raum voraussetzt 
und nur auf Raumgrenzen anwendbar ist, wird dann auf den Raum 
selbst angewandt. Während die Krümmung doch eine Richtungs¬ 
änderung im Raume ist, spricht man auf einmal von der Krümmung 
des Raumes selbst und unterscheidet, analog der Eintheilung der 
Flächen, Räume von constanter und solche von nichtconstanter 
Krümmung. Dabei sollen constantes Krümmungsmaß des Raumes, 
Congruenz des Raumes und freie Beweglichkeit ziemlich gleich¬ 
bedeutende Begriffe sein. Nun wolle man bedenken, dass Flächen 
von inconstantem Krümmungsmaße uns nur im congruenten Raume, 
d. h. in einem Raume gegeben sind, in welchem man ein Raum¬ 
gebilde frei nach allen Ortenjbewegt denken kann, ohne seine Größe 
oder Gestalt zu ändern. Also dieser Raum von constanter Krüm¬ 
mung, und zwar dem Krümmungsmaße 0, ist die Voraussetzung der 
Beurtheilung des Krümmungsmaßes von Flächen. Die Unter¬ 
scheidung der Constanz oder Nichtconstanz des Krüm¬ 
mungsmaßes im System von n — 1 Dimensionen setzt da¬ 
her die Thatsächlichkeit der Constanz und Congruenz des 
îz-dimensionalen Systems voraus. Wenn demnach unser Raum 
von 3 Dimensionen nicht ein specieller Fall einer n-dimensionalen 
Mannigfaltigkeit ist, haben wir eigentlich gar kein Mittel, um nach¬ 
zuweisen, dass unser Raum wirklich constante Krümmung besitzt.