Volltext: Die Dimensionen des Raumes (19)

Die Dimensionen des Raumes. 
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ist, da man für Ausdehnung ja auch Dimension sagt, der Schritt von 
dem M-fach ausgedehnten oder »»-dimensionalen Mannigfachen zu 
dem «-dimensionalen Baume ein sehr naheliegender. So bauen sich 
großartige mathematische Theorien, denen man in ihrem Oberbau weder 
Kühnheit noch Eleganz absprechen kann, auf logischen Schnitzern 
auf und gar noch solchen, hei welchen ungenügende Begriffsbestim¬ 
mung und oberflächlicher Sprachgebrauch eine wesentliche Rolle spielen. 
In den Arbeiten von Riemann und Helmholtz über nicht¬ 
euklidische Geometrie spielt neben dem Begriff des Mannigfachen 
derjenige der Krümmung eine maßgebende Rolle. Unter Krümmung 
ist ursprünglich offenbar nichts anderes als die Abweichung von der 
geraden Linie zu verstehen. Da aber diese Abweichung verschiedene 
Stärke besitzen kann, so bedarf man eines Maßes der Krümmung, 
als welches der sog. Krümmungsradius, d. i. der Radius desjenigen 
Kreises, der an der betreffenden Stelle der Curve am nächsten 
kommt, am geeignetsten ist. (Man pflegt gewöhnlich zu sagen, das 
Maß sei der Radius des Kreises, der mit der Curve an der be¬ 
treffenden Stelle drei auf einander folgende Punkte gemein habe. 
Diese Ausdrucksweise ist jedoch verwerflich, da es erstens keine auf 
einander folgende oder benachbarte Punkte gehen kann, und da 
zweitens, selbst wenn es welche gäbe, ein Kreis durch drei auf ein¬ 
ander folgende Punkte nicht bestimmt sein könnte.) 
Das Gauß’sehe Krümmungsmaß für Flächen scheint nicht 
so ganz über alle Zweifel erhaben. Es versucht die Krümmung einer 
Fläche zu bestimmen, ohne aus der Fläche herauszugehen. Es wird 
dargestellt durch das Product zweier linearer Größen, und stellt 
daher, ohne weiteres, nichts als eine lineare Größe dar. Auch der 
Krümmungsradius ist ja eine lineare Größe, aber er ist doch ein 
Radius, also ein Repräsentant einer Flächenfigur. So wie aber die 
Krümmung einer Linie die Ebene oder wenigstens die Fläche vor¬ 
aussetzt, und nur durch eine Flächengröße (man meint doch den 
Krümmungskreis, wenn man auch vom Krümmungsradius spricht) ge¬ 
messen werden kann, so setzt auch die Flächenkrümmung das Körper¬ 
höhe voraus und kann nur durch ein Körperliches gemessen werden. 
Schon die Thatsache, dass nach der Gauß’sehen Betrachtungs¬ 
weise eine Fläche, die das Krümmungsmaß 0 besitzt, durchaus nicht 
nothwendig identisch ist mit einer nicht gekrümmten Fläche (hierher
	        
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