Bauhaus-Universität Weimar

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A. Kirschmann. 
Auch Hilbert1} gibt die Beziehung zur Ebene nicht auf bei 
seinem »Axiom der Parallelen«, welches auch nach ihm aus zwei 
Aussagen besteht, nämlich 1), dass es durch einen Punkt zu einer 
Geraden in der Ebene stets eine Gerade gibt, die die erstere nicht 
trifft; und 2), dass es nur eine solche Gerade gibt (oder mit an¬ 
deren Worten: Wenn zwei Geraden einer Ebene eine dritte nicht 
treffen, so treffen sie auch einander nicht). In seinem Oapitel über 
die Unabhängigkeit des Parallelenaxioms2) beweist Hilbert die erste 
Aussage aus den übrigen Axiomen. Die zweite Aussage dagegen 
sei unabhängig und daher bestehe die Möglichkeit einer nicht-eukli¬ 
dischen Geometrie. Dieser Schluss aber scheint mir nicht gerecht¬ 
fertigt, da Hilbert’s Definition des Parallelismus der Begriff der 
Ebene zu Grunde liegt, welchen er ganz euklidisch auf fasst; denn 
eine Ebene ist nach ihm durch drei nicht in einer Geraden liegende 
Punkte bestimmt. In einem nicht-euklidischen Baume dagegen — 
auch bei constanter Krümmung — müssen durch je drei Punkte 
mindestens zwei (nicht-euklidische) »Ebenen« möglich sein, oder aber 
der Unterschied zwischen euklidischer und nicht-euklidischer Ebene 
wird belanglos. 
In der zweiten, durch das epochemachende Eintreten von Bie- 
mann und Helmholtz für die nicht-euklidische Geometrie charak- 
terisirten Entwicklungsstufe der Metageometrie tritt das geometrische, 
hauptsächlich an das Parallelen axiom anknüpfende Interesse sehr in 
den Hintergrund zu Gunsten einer rein algebraischen, analytischen 
Betrachtungsweise, die entschieden auf den gewaltigen, überall aus¬ 
schlaggebenden Einfluss der analytischen Geometrie zurückgeführt 
werden muss. Der Baum ist lediglich Größe und bildet in seiner 
dreifachen Ausdehnung nur einen speciellen Fall des ra-fach ausge¬ 
dehnten Mannigfachen. So wird der Begriff der Ausdehnung, von 
welchem durchaus nicht bewiesen wird, dass er überhaupt auf etwas 
anderes als den gegebenen Baum anwendbar ist, als ein selbstver¬ 
ständliches Attribut jeder Mannigfaltigkeit betrachtet. Hat man sich 
aber einmal dazu verstanden, das was eine ra-fach variable Mannig¬ 
faltigkeit heißen sollte, eine «-fach ausgedehnte zu nennen, dann 
1) D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie. Festschrift zur Feier der Ent¬ 
hüllung des Gauß-Weber-Denkmals. S. 10. 
2) Ebenda, S. 22.
        

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