Bauhaus-Universität Weimar

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A. Kirschmann. 
linigen Dreiecks abspricht, ist ohne weiteres in seinem Rechte; denn 
wer will mich hindern das geradlinige Dreieck so zu definiren, dass 
es das Gesetz von der Winkelsumme einschließt. Die Seiten eines 
Dreiecks, welches diese Bedingung nicht erfüllt, und darum auch die 
»Geraden« oder »kürzesten Linien« der negativ oder positiv gekrümm¬ 
ten Räume, sind eben krumm. Auf jener unberechtigten Ver¬ 
nachlässigung des Relativitätsgesetzes beruht es dann weiter auch, 
dass man bei den von Sacheri, Legendre u. A. behandelten Pro¬ 
blemen immer von kleinen Abweichungen von 2 R spricht. Was ist 
denn »klein«? Es ist gar nicht einzusehen, warum diese Abwei¬ 
chungen, wenn überhaupt die ganze Sache einen vernünftigen Boden 
hat, nicht auch von erheblicher Größe sein sollten. 
Es ist auch zu berücksichtigen, was weiter oben über die Ein¬ 
fachheit der Axiome gesagt ist. Gerade darin, dass man nicht in hin¬ 
reichendem Maße bestrebt war, auf letzte unzerlegbare Raum- und 
nicht nur Größenverhältnisse zurückzugehen, liegt der Grund des 
ganzen scholastisch-dialectischen Streites über das Parallelengesetz. 
Der Begriff des Parallelismus ist nicht einfach und unanalysirbar. 
Er enthält neben einem projectivischen, d. h. die reine Ausdehnung 
angehenden, einen metrischen Bestandtheil. In den geläufigen Defi¬ 
nitionen der Parallelen wird dies durch die Einführung von Begriffen 
verschleiert, die entweder selber weit mehr der Definition bedürfen 
als der der Parallelen (Abstand), oder aber mit dem Parallelismus 
nur einen indirecten Zusammenhang haben (Ebene). Euklid definirt 
die Parallelen als Geraden in einer Ebene, die sich nicht schneiden. 
Nun ist diese Definition aber viel zu eng ; denn die Ebene kann nur 
in so fern in Betracht kommen, als von einer Anzahl paralleler Linien 
im Raume nur je zwei in einer Ebene liegen müssen. Definirt man 
die Parallelen als Geraden, die überall gleichen Abstand haben, 
so begeht man einen noch viel ärgeren logischen Fehler. Denn, was 
ist der Abstand oder die Entfernung zweier Linien ? Man kann zwar 
von dem Abstand oder der Distanz zweier Punkte reden; das ist in 
der That ein elementarer metrischer Begriff. Dem »Abstand zweier 
Linien« dagegen lässt sich, wie man bei genauerer Ueberlegung leicht 
einsieht, ein Sinn nur dann beilegen, wenn die Linien parallel sind. 
Die Begriffe »Ebene« und »Abstand« müssen daher aus der Defini¬ 
tion der Parallelen unbedingt verschwinden. Dahingegen lässt sich
        

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