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A. Kirschmann. 
Ebene in die geöffnete Curve überführen, so verschwindet sie theil- 
weise für die Dauer der Procedur aus der Ebene und kann so lange 
von den angeblichen zweidimensionalen Wesen nicht wahrgenommen 
werden. Für diese imaginären Flachwesen müsste ein Stück der 
Schleife für eine Zeit lang ganz aus ihrem Raume verschwinden und 
dann an einer anderen Stelle in veränderter Form wieder auftauchen. 
Ganz anders bei den vierdimensionalen Materialisationen der Geister. 
Da verschwinden die betreffenden Knotentheile u. s. w. nicht für eine 
Zeit lang aus dem dreidimensionalen Raume, um nachher in ver¬ 
ändertem Zustande wieder aufzutauchen, sondern sie müssen während 
der Arbeit der Geister durch üeberdecken eines Tuches oder durch 
Anwendung von Dunkelheit, also ganz nach Taschenspielerart, den 
Blicken der Zuschauer entzogen werden. 
Diese ganze Argumentation von dem Knoten und der Schleife 
leidet an einer falschen Prämisse. Man sagt: Wir können durch 
Circumversion in der dritten Dimension eine zweidimensionale Schleife 
öffnen und zwei congruente aber symmetrische Dreiecke zur Deckung 
bringen. Das ist einfach nicht wahr. Wir können es nicht. Ist die 
Schleife als ein Band von unendlich geringer Dicke oder der Dicke 0 
gedacht, so hegen an der »Kreuzungs«-Stelle nicht etwa zwei Flächen 
wie Riemann’sche Spiralen übereinander, sondern ein Theil der 
Gesammtfläche ist beiden Aesten, wenn man überhaupt ein Recht 
hat von solchen zu reden, gemeinsam. Selbst wenn es möglich wäre, 
Flächen als solche durch den Raum zu bewegen, so müsste doch ein 
Aufheben eines der beiden Aeste mit dem Zerreißen der Schleife 
gleichbedeutend sein; denn man kann doch nicht gleichzeitig einen 
Theil aus einer Fläche herausnehmen und denselben Theil auch darin 
lassen. Ist die Schleife aber nur eine Linie, so handelt es sich an 
der Ueberschneidungsstelle um einen gemeinsamen Punkt, für welchen 
dasselbe gilt wie für das gemeinsame Flächenstück der breiten Schleife. 
Zwar pflegt man in der Mathematik zu sagen, dass bei Berührungen 
zweiter Ordnung die beiden sich treffenden oder schneidenden Curven 
nicht einen, sondern drei benachbarte Punkte gemein haben; aber 
das ist eine dem Princip der Einfachheit dienen sollende ungenaue 
Ausdrucksweise. Denn »benachbarte Punkte« kann es überhaupt 
nicht geben. Besteht zwischen zwei Punkten eine Entfernung, so 
sind sie nicht benachbart. Besteht aber keine Entfernung zwischen