Volltext: Die Theorie der Collectivgegenstände (17)

470 Gotti. Friedr. Lipps. 
mit reellen positiven Wurzeln, die nicht alle einander gleich sind jn 
die Form 
*" — (“) ßi x,l~l + (g ) ßl xH~2----± ßl = 0 
so ist 
ßl ^ ßn 7 ßl ßn 1 ßz ßn ! • • • ßn—1 ^ ßn • 
Sind aber die Wurzeln dieser Gleichung sämmtlich reell und 
positiv, so gilt bekanntlich dasselbe von den Wurzeln der Gleichungen 
die man durch successive Differentiation nach x erhält. Diese 
Gleichungen sind 
®"-‘ - (” Y1 ) AJ1 x'1-2 + (* ~ ] j ßl x*-s----± fifi = 0 
Xn~2 - (n~2) ßl x“~:i + J^ßl x”~4----± fi ll = 0 
x2 — 2ßx x -}- ßl — 0. 
Es ist daher dem angegebenen Satze zufolge 
ßl fi ßn—l 7 ßl fi> ßn—1 ) • ■ • ßn—2 ßn—i 7 
ßl ßn—27 ß’2 ßn—27 • ■ ■ ßn—3 ßn—2: 
ßl ß> ß% ■ 
Die Zusammenfassung dieser Ungleichungen führt im Verein mit den 
Ungleichungen (4) und (3) zu folgendem Satze: 
Berechnet man aus den symmetrischen Grundfunc¬ 
tionen der reellen, positiven Größen ax, a2...an, deren 
kleinste er, und deren größte an ist, die Mittelwerthe ßu ß-i 
• • • ßn, oder bringt man die Gleichung n ten Grades 
xn — av x**-1 -f- a2 xn~2--- • ± a„ = 0 , 
deren Wurzeln er,,a2 . . . an sind, in die Form 
Xn — (”) ßl x>‘~' + I”) ßl X>‘-2----±ßn = 0 , 
so ist 
«»>&>&>•••> ßn-1 > ßn >«1 • (5) 
Und es sind nur dann zwei auf einander folgende Mittelwerthe gleich, 
wenn sie alle einander gleich sind und die Werthe a,, «2 • • • a“ 
insgesammt ühereinstimmen.
	        
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