Die Theorie der Collectivgegenstände.
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abgeleitet und zugleich als notwendige (aber nicht hinreichende) Be¬
dingung dafür, dass die to Wurzeln einer Gleichung TO-ten Grades
alle reell und positiv sind, gedeutet werden kann.
Bringt man nämlich die Gleichung TO-ten Grades, deren Wurzeln
die to reellen, positiven Werthe a!, a", a'" . . . a(m> sind, in die Form
af - (™) Ä*“-1 + ----± ßZ= 0, (30)
so können die s durch die ß und auch die ß durch die e mittelst
der Newton’schen Formeln ausgedrückt werden. Diese, die Potenz¬
summen der Wurzeln einer Gleichung mit ihren Coefficienten ver¬
knüpfenden Formeln lauten, wenn an Stelle der Potenzsummen die
s-Werthe und an Stelle der Coefficienten die ß-Werthe gesetzt werden:
£i — ßi — 0
£2 — me± ßx + (to — l)ß\ = 0
— TO £2 ft + «1 ßl ~ (W 2 1)^==0
oder allgemein für jedes positive ganzzahlige v:
wo für to die Glieder, in denen ßm+i, ßm+2- ■ ■ auftreten würde,
von selbst wegfallen. Für negative Indices gilt entsprechend:
gesetzt wird. — Bleibt die Eigenschaft der £-Werthe, aus der die Be¬
dingung für die /?-Werthe oder für die Coefficienten der Gleichung (30)
abgeleitet wird, bestehen, wenn die a positiv oder negativ reell sind,
so erhält man auf diese Weise nothwendige Bedingungen für die
Realität der to Wurzeln von (30).
Wundt, Philoe. Studien. XVII.
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