Die Theorie der Collectivgegenstände. 
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sind aber die unbekannt bleibenden Coefficienten keineswegs willkür- 
lieb bestimmbar, sondern an gewisse Bedingungen gebunden, die — 
allgemein gesagt — darin ihre Quelle haben, dass die n Wurzeln 
der Gleichung (1) sämmtlich reell und positiv sind. 
Demzufolge sind, wenn die Gleichung (1) in der Form 
pn - (”) ßtpn~' + (g) ßlpn-* - • • • ± « = 0 (7) 
geschrieben, wenn also 
h = (”)# für i = 1, 2. . . n 
gesetzt wird, die Werthe ßt, ßt ... ßn gleichfalls reelle Mittelwerthe 
der Größen pi, . . . pn. Insbesondere ist ßl das arithmetische 
und ßn das geometrische Mittel jener Größen. Und es bestehen 
zwischen diesen Mittelwerthen [wie im nächsten Oapitel (§ 1) gezeigt 
wird] Beziehungen, in denen die Thatsache, dass die n Wurzeln von 
(7) sämmtlich reell und positiv sind, einen Ausdruck findet. Beispiels¬ 
weise ist 
&>&>/*»>••• > ßn-i > ßn • (8) 
Es ist aber nun zu beachten, dass die Wahrscheinlichkeitswerthe 
Pi) Pi • Pn im allgemeinen nur innerhalb gewisser Grenzen als zu¬ 
verlässig gelten können. Man wird darum nicht erwarten dürfen, 
bei einer erneuten, selbst unter gleichen Umständen ausgeführten 
Bestimmung genau dieselben Werthe wieder zu finden. Mit den 
Wahrscheinlichkeitswerthen ändern sich aber im allgemeinen auch 
ihre Mittelwerthe nach Maßgabe der Definitionsgleichung (5), so dass 
7Ci + dK, • • • ?rn + 4n an Stelle von st, , 7tt . . . nn tritt, 
wenn pi, pt . . . pn durch pl + d{J pi 4- . . . pn + ön ersetzt wird, 
und 
n{7tv -f- Jv)v = (pt — p0 + dj* + (pt — p0 + dt)v + • • • 
+ (Pn — Po + ^n)l, 
ist. Dabei muss 
dt + d2 + . . . + 6n = 0 
sein, indem sowohl p{ + pt + . . . + pn als auch pl + d, + pt + d; 
+ • • . + pn + d„ gleich 1 ist. Da indessen d,, ds ... d„ als kleine