Volltext: Die Theorie der Collectivgegenstände (17)

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Gotti. Friedr. Lipps. 
Summanden, von welchen jeder ein aus i Eactoren gebildetes Pro¬ 
duct ist, und si ist aus n Potenzen vom t'-ten Grade zusammengesetzt 
(für i — 1, 2 ... n). 
Es empfiehlt sich darum zu Mittelwerthen überzugehen, die ich 
in folgender Weise definire. 
Es sei p0 ein beliebiger reeller Zahlenwerth. Man bilde nun die 
Differenzen p{ — p0, pi — p0, . . . pn — p0 und erhebe jede in die 
v-te Potenz. Dann erhält man aus der Summe 
n ■ < = {Pi —PoY + (Pt —PoY 4-----f [Pn —PoY (5) 
nach Division mit n und Ausziehen der r-ten Wurzel den reellen 
Werth 7ty, der für ein geradzahliges v dem absoluten Betrage nach 
zu nehmen ist. Den Werth tcv bezeichne ich als den auf. den 
Ausgangswerth p0 bezogenen Mittelwerth v-ter Ordnung 
des Systems pv p^ . . . pn. 
Entwickelt man die rechte Seite von (5) nach Potenzen von p0) 
so erhält man 
n • < = sv — ( * ) sv_,p0 + l^sv_ipl---=tnpl (6) 
Es ist somit: 
nni = s, — np0 = 1 — np0 ; 
nn\ = st — 2s,p0 + np\ ; 
nn\ = s3 — 3s^p0 + 3stp\ — np\ ; 
Hieraus wird ersichtlich, dass nach Wahl eines bestimmten Ausgangs- 
werthes p0 einerseits . . . 7tn aus st] st ... sn und ander¬ 
seits s,, s2 ... sn aus 7t{, 7t^ ... 7tn gefunden werden können. 
Das System der Wahrscheinlichkeitswerthe p{, pt . . . pn wird 
somit durch die auf einen beliebig gewählten Ausgangs¬ 
werth p0 bezogenen Mittelwerthe 7tt, 7tî ... 7tn vollständig 
bestimmt. 
Eine angenäherte Bestimmung wird durch eine kleinere Anzahl 
von Mittelwerthen, etwa durch jtt, it^ ... jtv (wo v <( n) geleistet. 
Denn aus itK, it^ . . . 7tv kann man s,, s2 ... sv und somit b{, //., 
. . . bv finden, so dass in der Gleichung (1) die v ersten Ooefficienten 
bekannt sind, die n — v folgenden aber unbekannt bleiben. Dabei
	        
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