120 
Gotti. Friedr. Lipps. 
0,67 und für die Systeme mit acht bis vier Ä und zwei bis sechs 
A" die relative Häufigkeit 0,89 besteht. — Hiernach hat man die 
gesuchten Wahrscheinlichkeitswerthe p und q zwischen den Grenzen 
7-^ 5 3 5 
10 — p — 10 ’ 10 — q — 10 
für m — 10 mit der relativen Häufigkeit 0,67 ; und zwischen den 
Grenzen 
8^.4 2 6 
10 — ^ — 10 ’ io — ^ — 10 
für m — 5 mit der relativen Häufigkeit 0,84; für m = 10 mit der 
relativen Häufigkeit 0,89 zu erwarten, so dass man die Wahrschein¬ 
lichkeitswerthe innerhalb gewisser, die wahren Werthe einschließender 
Grenzen um so häufiger finden wird, je größer m ist. 
Auf diesem Wege hat Jakob Bernoulli im vierten Theile der 
Ars conjectandi1) das (im vierten Oapitel) von ihm gestellte und in 
seinen principiell wichtigen Punkten geklärte Problem der Wahr¬ 
scheinlichkeitsbestimmung aus einer großen Anzahl von Beobachtun¬ 
gen (im fünften Capitel) gelöst. Er hat gezeigt, dass die Sicherheit 
in der Bestimmung der Wahrscheinlichkeitswerthe mit der Anzahl 
der beobachteten Fälle wächst und zwar ohne Grenzen wächst, ohne 
dass — wie er sagt — das Problem »seine Asymptote« hat und ein 
bestimmter Grad der Gewissheit, das wahre Yerhältniss der Fälle 
gefunden zu haben, auch hei beliebiger Vermehrung der Beobach¬ 
tungen niemals überschritten werden kann. Er hat ferner hervorge¬ 
hoben, dass die Wahrscheinlichkeitswerthe nicht absolut genau — 
»denn so würde ganz das Gegentheil herauskommen und desto un¬ 
wahrscheinlicher werden, dass das richtige Yerhältniss gefunden sei, 
je mehr Beobachtungen gemacht wären« — sondern nur angenähert 
»zwischen zwei Grenzen« bestimmt werden können. Und er gelangt 
zu dem Satze: 
»Es möge sich die Zahl der günstigen Fälle zu der Zahl der 
ungünstigen Fälle genau oder näherungsweise wie r : s, also zu der 
1) Unter dem Titel »Wahrscheinlichkeitsrechnung (Ars conjectandi) von 
Jakob Bernoulli (1713)« übersetzt und herausgegeben von Haussner (Ost- 
wald’s Klassiker der exacten Wissenschaften, No. 107 und 108).