Bauhaus-Universität Weimar

Titel:
Untersuchungen über die Grundlagen der Mathematik, Fortsetzung zu Band X, S. 202
Person:
Lipps, Gottlieb Friedrich
PURL:
https://digitalesammlungen.uni-weimar.de/viewer/image/lit4530/44/
Untersuchungen Aber die Grundlagen der Mathematik. 297 
Mit der gewöhnlichen und erweiterten Multiplication und Di¬ 
vision wird indessen die größtmögliche Abkürzung des Zählprocesses 
keineswegs erreicht; sie besteht ja nur darin, dass Intervalle mit 
vorbestimmter Gliederanzahl statt der Glieder selbst gezählt werden. 
Eine weitergehende Abkürzung kann dadurch gewonnen werden, 
dass in ähnlicher Weise, wie die ursprüngliche Reihe der Zahlen¬ 
glieder durch eine Reihe von Intervallen mit vorbestimmter Glieder¬ 
anzahl ersetzt wurde, so auch die nun vorhandene Intervallenfolge 
von neuem in umfassendere Intervalle von gleichfalls vorbestimmter 
Gliederanzahl abgetheilt, sodann mit der neu entstehenden Inter¬ 
vallenfolge in der nämlichen Weise verfahren und dieses Verfahren 
ohne Ende fortgesetzt gedacht wird. Es entsteht so ein System 
von einander umfassenden Intervallenfolgen, und es besteht der 
Zählprocess nun nicht mehr im Zählen der aneinander gereihten 
Intervalle, sondern im Zählen der Uebergänge von einer Intervallen¬ 
folge zu der dieselbe umfassenden Intervallenfolge. 
Lässt man jede einzelne der so définir ten Intervallenfolgen aus 
Intervallen mit gleicher Gliederanzahl bestehen, so wird zunächst 
durch directes Abzählen von a Gliedern der Zahlenreihe ein Inter¬ 
vall 7| erzeugt, sodann durch Abzählen von Intervallen /, ein 
Intervall /2 gewonnen, weiterhin durch Abzählen von a2 Intervallen /2 
zu einem Intervall /3 u. s. w. fortgeschritten. Soll dieser Uebergang 
von einem Intervall zu dem dasselbe umfassenden Intervall in un¬ 
begrenzter Wiederholung möglich sein, so muss nur noch ein Gesetz 
vorhanden sein, durch das die Folge der Anzahlen a,«i,«2,-. - für 
ein beliebig angenommenes a erzeugt werden kann, um in ungehin¬ 
derter Weise durch das Abzählen der Uebergänge von einem Intervall 
zu dem aus ihm erzeugten, umfassenderen Intervall die schließlich 
erreichte Stelle der Zahlenreihe und das durch diese Stelle definirte 
Gesammtintervall in eindeutig bestimmter Weise zu erhalten. Es 
kann alsdann gesetzt werden: 
7) /„ = [of = «„_!• «„_2----«2 •«!•«; («=1,2,3,...), 
falls die Anzahl der in der angegebenen Weise einander umfassenden 
Intervalle n beträgt. 
Die durch diese Gleichung definirte, im Abzählen der Ueber¬ 
gänge von einer Intervallenfolge zu einer dieselbe umfassenden
        

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