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Gotti. Friedr. Lipps. 
»uneigentliche Anzahl« und als »Hülfszeichen« bei der 
Zahlbezeichnung nach dem Typus I, nicht aber als »Stelle 
der Zahlenreihe« auftreten1). 
§ H- 
Die Charakterisirung der Zahlenoperationen wäre damit beendigt, 
wenn der Process des Zählens nur in der Weise ausgeführt werden 
könnte, dass die Zahlenreihe Glied für Glied abgezählt wird. Die 
Möglichkeit, Intervalle von bestimmter Gliederanzahl in der Zahlen¬ 
reihe abzugrenzen, gestattet jedoch, die Zahlenreihe als eine Reihe 
von Intervallen aufzufassen und den Zählprocess in der Weise zu 
vereinfachen, dass nicht Glied für Glied, sondern Intervall für Inter- 
ivall gezählt wird. Die Gliederanzahl der auf einander folgenden 
Intervalle ist dabei an und für sich gleichgültig, falls sie nur für 
jedes Intervall eine fest bestimmte ist. Soll jedoch das Abzählen 
der succedirenden Intervalle ins Endlose fortsetzbar sein, so müssen 
die Gliederanzahlen in gesetzmäßiger Weise bestimmt werden können, 
so dass auf Grund der willkürlich angenommenen Anzahl a der 
Glieder des ersten Intervalls (1, as) die Anzahl ay der Glieder des 
nächsten Intervalls [a + 1, a + at) = (1, «j), sodann die Anzahl «2 
der Glieder des nun folgenden Intervalls und weiterhin die Glieder¬ 
anzahl a3, ... . der nunmehr sich anschließenden Intervalle in 
unbegrenzter Folge unmittelbar angebbar ist. Da zu einer solchen 
gesetzmäßigen Bestimmung der Gliederanzahlen bloß die Grund¬ 
operation des Addirens oder Weiterzählens zur Verfügung steht, so 
erhellt, dass die Gliederanzahlen a, al: «2> • • • entweder alle ein¬ 
ander gleich sein oder eine arithmetische Reihe erster, zweiter, 
dritter Ordnung u. s. w. bilden müssen. Ist aber das Gesetz, das 
die Reihe a, , . . . erzeugen soll, bestimmt, so genügt in der 
That das Abzählen der aneinander gereihten Intervalle, um mit 
1) Als ein Uebersehen der durch das erste Axiom begründeten Bedeutung 
des Anfangsgliedes der Zahlenreihe muss es daher bezeichnet werden, wenn 
v. Helmholtz in der citirten Abhandlung (S. 34) sagt: »In Bezug auf die Sub¬ 
traction ist nur zu bemerken, dass man die Zahlen als Zeichen einer Reihenfolge 
auch in absteigender Richtung in das Unbegrenzte fortsetzen kann, indem man 
von der 1 rückwärts zur 0, von da zu (— 1), (— 2) u. s. w. übergeht, und diese 
neuen Zeichen ebenso wie die früher allein gebrauchten positiven ganzen Zahlen 
behandelt.«