Untersuchungen über die Grundlagen der Mathematik. 291 
reihe bewusster Weise die Grundlage der Beweisführung ist, während 
es dort unausgesprochen und wohl auch unbewusst das inductive 
oder nach exacter Analogie erfolgende (von/i zu»+l weiterführende) 
Beweisverfahren ermöglicht. 
Bestimmen demzufolge einerseits das vierte und das dritte 
Axiom die beiden Operationsarten des Vorwärts- und Rückwärts¬ 
zählens und die Gesetze der Association und Commutation für das 
in Intervalle abgetheilte Zählen, so bedingen anderseits das zweite 
und das erste Axiom die Ausführbarkeit der angegebenen Operationen. 
Da nämlich die Zahlenreihe ins Endlose fortsetzbar gedacht werden 
muss, so kann es zur Ausführung des Weiterzählens oder Addirens 
nie an Reihengliedern fehlen: es gibt zu jeder Zahl, auf Grund 
des zweiten Axioms, eine folgende Zahl. Da aber die Zahlen¬ 
reihe ein Anfangsglied besitzt, so kann das Rückwärtszählen oder 
Subtrahiren nur bis zu diesem Glied zurück, nicht aber darüber 
hinaus führen. Das Anfangsglied bedeutet ja, dass die Zahlenreihe 
anfängt und nicht als ohne Anfang bestehend aufgefasst werden 
kann. Die Subtraction ist daher dann und nur dann ausführbar, 
wenn der Subtrahend in der Reihe der Zahlen vor dem Minuenden 
steht: es gibt dem ersten Axiom zufolge kein dem Anfangs¬ 
glied vorangehendes Glied der Zahlenreihe. 
Die Subtraction a — a kann folglich nicht in der Weise aus¬ 
geführt werden, dass man von der durch a bezeichneten Stelle der 
Zahlenreihe aus um a Stellen rückwärts zählt; denn man kann 
von a aus zwar um a — 1 Stellen bis zum Anfangsglied 1 rück¬ 
wärts zählen, man kann aber nicht über 1 hinausgehen, eben weil 
es keine Stelle mehr gibt, zu der man übergehen könnte. Dies 
hindert jedoch nicht, das bei der Construction der Normalreihe 
bereits zur Ausfüllung leerer Stellen verwendete Zeichen 0 auch 
zur Bezeichnung nicht vorhandener Anzahlen oder nicht vorhan¬ 
dener Intervalle der Zahlenreihe zu benutzen und dann auch 
« — a — 0 zu setzen. Alsdann bezeichnet aber 0 nicht eine dem 
Anfangsglied vorangehende Stelle der Zahlenreihe, sondern es sagt 
nur aus, dass das »Intervall« a — a, das von jeder Stelle b der 
Zahlenreihe aus abzählbar ist, keine Glieder oder 0 Glieder besitzt. 
Es ist somit a — a — 0 bloß eine Folgerung daraus, dass b a — a 
~ b + 0 = b zu setzen ist. Die Null kann also zwar als 
Wundt, Philos. Studien. XI. 
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