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Gotti. Friedr. Lipps. 
Es ist daher: 
la) (1, a b + c) — (1, a) + (1, b) + (1, c) = (1, a) -f- (1, b -f- c) 
= (1, a + b) + (1, c). 
Dies ist aber nichts anderes als das Associationsgesetz für die 
Addition der Zahlen, das nun auch in der Form: 
1) (a + ö-(-c) — «-|-J-fc = a-f-(5 + c) = (« + ^) + c 
geschrieben werden kann. Es beruht folglich das Associations- 
^ gesetz für die Addition auf der homogenen Beschaffenheit 
der Zahlenreihe. 
Wird ferner durch Addition der Zahlen a und b sowohl die 
Summe a -f- b oder das Intervall (1, a) -f- [a + 1, a + b) — (1, a + b) 
als auch die Summe b + a oder das Intervall (1, b) + (è + 1, b + a) 
— (1, ft + «) erzeugt, so folgt durch Gleichsetzen der Intervalle mit 
gleicher Gliederzahl zunächst: 
(1, a + b) — (1, a) + [a + 1, a + b) = (1, a) + (1, b), 
(a + b, 1) = (a + b, a + 1) + {a, 1) = {b, 1) + (a, 1) = (1, b) + (1, a), 
und daraus, da (1, a + b) = (a + b, 1): 
2) (1, a) + (1, b) = (1, b) + (1, a) oder a + b = b + a, 
wodurch das Commutationsgesetz für die Addition erwiesen 
ist. Es beruht somit das Commutationsgesetz in gleicher 
Weise wie das Associationsgesetz darauf, dass die Zahlen¬ 
reihe dem dritten Axiom zufolge als homogen vorausgesetzt 
werden muss, und es ergibt sich demgemäß der Begriff der 
aus vertauschbaren Summanden bestehenden Summe als 
eine Folge dieses Axioms. 
Der hier gegebene Beweis der beiden Operationsgesetze für 
die Addition unterscheidet sich von den Beweisen mittelst der 
sogenannten vollständigen Induction (oder des Schlusses von n auf 
w + 1), wie sie beispielsweise H. Hankel1) und v. Helmholtz2) 
geben, dadurch, dass hier das Axiom der Homogeneität der Zahlen- 
1) Vorlesungen über die complexen Zahlen und ihre Functionen. Leipzig 
1867, S. 37, 38. 
2) Zählen und Messen. In den Philosophischen Aufsätzen, Ed. Zeller 
gewidmet. Leipzig 1887, S. 26, 28.