Untersuchungen über die Grundlagen der Mathematik. 
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Da nunmehr eine Zahl a nicht bloß die Stelle in der Zahlen¬ 
reihe, sondern auch die Anzahl der Glieder des Intervalls (1, a), 
sowie jedes anderen durch die Reihe 1, 2, ... a abzahlbaren Inter¬ 
valls (c, d) bezeichnet, so kann das Zählen zur Bestimmung eines 
Intervalls dienen,. dessen Gliederzahl durch Weiterzählen vermehrt, 
durch Rückwärtszählen vermindert wird. Auf Grund dieser Inter¬ 
pretation ist das Weiterzählen als Addiren, das Rückwärts¬ 
zählen als Subtrahiren zu bezeichnen. Man erhält so die De¬ 
finitionen: 
Man addirt zu der Zahl a die Zahl b oder man bildet 
die Summe a + 5, indem man von a aus um b Stellen der 
Zahlenreihe weiterzählt und so das Intervall (1, a) durch 
Hinzufügen des Intervalls (a + 1, a + b) zu dem Intervall 
(1, a + b) erweitert; die Zahlen a und b heißen die Sum¬ 
manden. 
Man subtrahirt von der Zahl a die Zahl b oder man 
bildet die Differenz a — b, indem man von a aus um b 
Stellen der Zahlenreihe rückwärts zählt und so das Inter¬ 
vall (a, 1) durch Absonderung des Intervalls (a, a — 5+1) auf 
das Intervall (a — b, 1) beschränkt; a heißt der Minuend, 
b der Subtrahend. 
Dabei sollen die b auf das Glied a folgenden Reihenglieder 
durch «+ 1, . . . , a + b und die b unmittelbar vorhergehenden 
Glieder durch a, a — 1,...,« — 5+1 bezeichnet gedacht werden. 
Wird nun in der angegebenen Weise durch Addition der 
Zahlen a, b und c die Summe a + b + c oder das Intervall 
(1, o + 5 + c) erzeugt, so folgt aus der homogenen Beschaffenheit 
der Zahlenreihe, dass: 
(1, a + b + c) = (1, a) + [a + 1, « + b) + (a + b + 1, « + b + c), 
oder, da Intervalle mit gleicher Gliederzahl einander gleich zu 
setzen sind und somit (a+l,a + 5) = (l,5), (a+ö + l,a+5 + c) = (l,c): 
(1, a + b + c) = (1, a) + (1, b) + (1, c). 
In eben derselben Weise kann jedoch auch gesetzt werden: 
(1, «+ b + c) = (1, a) + [a + 1, a + b + c) = (1, a) + (1, 5 + c), 
oder: 
(1, a + 5 + c) = (1, a+5) + («+ 5+ 1, a+ ö + c) = (1, a+5) + (l,c).