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Gotti. Friedr. Lipps. 
Zahlenreihe musste einer dieser Uebergänge — es sei dies der von a 
zu b führende — schon einmal bewerkstelligt werden, so dass er 
durch directes Weiterzählen in der Zahlenreihe, vom Anfangs- 
gliede aus, erfolgt, Den von b zu a führenden Uehergang kann 
man dagegen erst dann ausführen, wenn die Zahlenreihe ein objectiv 
im Bewusstsein vorliegender Untersuchungsgegenstand geworden ist. 
Er beruht somit zwar in gleicher Weise wie der erstere auf dem 
Process des Zählens, er hat diesen ersteren aber zur Voraussetzung 
und besteht in der Umkehrung desselben, so dass er durch Rück¬ 
wärtszählen in der Zahlenreihe, dem Anfangsgliede zu, erfolgt. 
Die Grundoperation des Zählens ist somit entweder ein vom 
* Anfangsglied fortführendes Vorwärts- oder Weiterzählen 
oder ein dem Anfangsglied zuführendes Rückwärtszählen. 
Da nun dem an dritterstelle genannten Axiom zufolge die 
Zahlenreihe eine homogene Reihe ist, so besteht der Process des 
Zählens in der ganzen Erstreckung der Zahlenreihe in der näm¬ 
lichen Thätigkeit: der Uebergang von Eins zu Zwei ist der näm¬ 
liche wie der Uebergang von a zu dem ihm folgenden oder zu dem 
f ihm vorhergehenden Glied. Man kann somit die vom Anfangsglied 
aus durchlaufenen Successionen von Zahlen mit den von einem 
beliebigen Glied a aus vorwärts oder rückwärts durchlaufenen Suc¬ 
cessionen vergleichen und die succedirenden Zahlen auf einander 
4 beziehen und einander zuordnen. Dadurch wird die Operation des 
Zählens auf die Zahlenreihe selbst von irgend einem Glied a aus 
angewendet, indem die an a nach vorwärts oder nach rückwärts 
sich anschließenden Glieder mittelst der Reihe der Zahlen: Eins, 
Zwei, Drei u. s. w. abgezählt werden. Auf diese Weise kann man 
die Anzahl der Glieder eines durch die Zahlen a und b begrenzten 
Intervalls («, b) der Zahlenreihe bestimmen ; und zwar ist (a, b) — a 
zu setzen, wenn die Reihe der Zahlen 1, 2, ... a der Reihe der 
Zahlen von a bis b Glied für Glied zugeordnet werden kann. Es 
resultirt demgemäß aus der homogenen Beschaffenheit der 
Zahlenreihe die Bestimmbarkeit der Gliederanzahl von 
Intervallen der Zahlenreihe und die Gleichheit solcher 
Intervalle, wenn sie durch die nänlliche Reihe 1, 2, ... « 
abzahlbar sind. Insbesondere ist das Intervall (a, b) gleich 
zu setzen dem Intervall (b, a) und (1, a) = (a, 1) = a.