Untersuchungen über die Grundlagen der Mathematik.
287
sich der Zwischenglieder bedienen, wenn das andere nicht ein
unmittelbar benachbartes Glied ist. Bezeichnet man dieses successive
Erfassen aufeinander folgender Glieder als Zählen, so besteht
demnach die Grundoperation im Zählen. Die Arten des
Zählens aber und die Gesetzmäßigkeiten, die hierbei auftreten, sind
nun aus den Axiomen der Zahlenreihe abzuleiten.
Von diesen Axiojpen gründen sich die einen darauf, dass es
eine Form des Denkens ist, auf welcher die Zahlenreihe beruht.
Ihnen zufolge muss die Zahlenreihe den Charakter der Noth-
wendigkeit und allgemeinen Gültigkeit besitzen und, da
in der Denkform ein elementares und fundamentales Princip des
logischen Ordnens gefunden wurde, als einzigartiges Funda¬
ment jeglicher Reihenbildung anerkannt werden. Hierdurch
wird jedoch nur der wissenschaftliche Charakter der Zahlenreihe
im allgemeinen bestimmt, ohne dass Bedingungen für die Unter¬
suchung derselben sich ergeben würden. Es können daher bloß
diejenigen Axiome in Betracht kommen, die auf die Reihenform
des Denkens sich gründen. Es sind dies folgende:
1) Die Zahlenreihe muss ein Anfangsglied haben.
2) Sie muss ohne Ende fortsetzbar sein. 3) Sie muss
eine homogene Reihe sein, insofern jedes Glied der
Wiederholung des nämlichen Denkaktes sein Dasein
verdankt und jeder Fortgang von einem Gliede zum
folgenden auf der Wiederholung der nämlichen Thätig-
keit beruht. 4) Sie muss durch jedes einzelne ihrer
Glieder best immt werden können, so dass ein einziges
Glied die ganze Reihe wie im Keime in sich trägt.
Dem zuletzt^genannten Axiom zufolge muss das Erfassen einer
Zahl a genügen, um jede andere Zahl b in eindeutig bestimmter
Beziehung zu a zu erhalten. Diese Beziehungen, die von vorn¬
herein, und zwar auf Grund der Erzeugung der Zahlenreihe vom
Anfangsgliede aus feststehen, bedingen es, dass der Uebergang von a
zu b, der an und für sich an der objectiv vorliegenden Zahlenreihe
ganz in gleicher Weise wie der Uebergang von b zu a durch suc¬
cessives Erfassen der Zwischenglieder (wenn solche vorhanden sind)
erfolgen kann, als specifischjrerschieden von dem Uebergange von b
zu a angesehen werden muss. Denn gelegentlich der Erzeugung der
