Bauhaus-Universität Weimar

Titel:
Zur Methode der richtigen und falschen Fälle im Gebiete der Schallempfindungen
Person:
Mosch, Erich
PURL:
https://digitalesammlungen.uni-weimar.de/viewer/image/lit4516/33/
Zur Methode der richtigen und falschen Fälle im Gebiete der Schallempfmdungen. 523 
so wird diese Festsetzung zusammen mit der früheren Formel aus¬ 
gedrückt durch die Gleichung 
H{b) = 2 yrE(xr). 
In der That, fällt x nicht mit b zusammen, so dass x < b ist, 
so wird sg(b — x) = + 1, 2E[x) — 2, d. h. E(x) = 1 und Hb) = 2yf, 
wie wir früher fanden. Fällt aber x mit b zusammen, so wird 
1 1 
sg{b — x) — 0 , E(x) = —, also H[b) = j yb, wo yh die zu x = b 
gehörige Wahrscheinlichkeit bezeichnet. Die Formel deckt also alle 
vorkommenden Fälle. Um dieselbe aber praktisch anwendbar zu 
machen, muss noch die Größe sg(b — x) durch andere Functionen 
ersetzt werden, mit denen man rechnen kann. Das Wesentliche der 
Bruns’schen Abhandlung besteht nun eben gerade darin, dass in ihr 
für sg[y — x) eine Darstellung in Form einer convergenten Reihe 
gegeben wird. Auf diese Weise gelangt man zur Darstellung von 
11(b) in Reihenform. Bruns zeigt noch, dass die erhaltene Reihe 
auch für stetige Häufigkeiten Anwendung findet; er führt dann ver¬ 
schiedene Vereinfachungen ein und gelangt schließlich zu dem Re¬ 
sultat, dass sich eine beliebige relative Häufigkeit zwischen den 
Grenzen — oo und b darstellen lässt durch die folgende convergente 
Reihe : 
2H(b) — 1 = 0{x) + «!©,(») + a^fb^x) + ..., 
wobei 0(x) die aus dem Gauß’sehen Fehlergesetz stammende Trans- 
cendente 
X 
®(»J = 17= ldy exP (— y2) 
Va.) 
o 
ist, während Ü>, (x), Ot[x) u. s. w. die 1., 2., u. s. w. Ableitung dieser 
Function bedeuten, also: 
(®J = exP (— *") 
V n 
4 
0^(x) = — — x exp (— x2) u. s. w. 
«i .. . sind dabei gewisse constante Größen, die für die Collectiv- 
gegenstände anschauliche Bedeutung haben, da sie gewisse Durch- 
Wundt, Philos. Studien. XIV. 35
        

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