Bauhaus-Universität Weimar

Titel:
Untersuchungen über die Grundlagen der Mathematik
Person:
Lipps, Gottlieb Friedrich
PURL:
https://digitalesammlungen.uni-weimar.de/viewer/image/lit4228/3/
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Untersuchungen über die Grundlagen der Mathematik. 
suchungsmethode dieser neueren Geometrie beeinflussende Rolle. 
■ — Die Operationen der Algebra (Addition, Subtraction, Multipli¬ 
cation und Division) werden als einfachste Beispiele allgemeiner 
Verknüpfungen erkannt, die zu einer formalen Operationenlehre 
Veranlassung geben. Während aber die positiven und negativen 
Zahlen die leicht verständliche Basis für das Operationensystem der 
Algebra bilden, besitzen die complexen Zahlensysteme, die den 
verallgemeinerten Operationen zu Grunde liegen, keine greifbare 
Existenz: das Gewand der Zahlen, in das sie sich kleiden lassen 
sollen, will ihnen doch zu eng werden und sie scheinen vielmehr 
etwas Allgemeineres von unbestimmter Natur zu sein, von dem nur 
vorausgesetzt wird, dass es den Verknüpfungsgesetzen der Opera¬ 
tionenlehre Gelegenheit gibt, sich zu betätigen. — Die Zahlen 
werden variabel, so dass unendliche Mannigfaltigkeiten von Zahlen- 
werthen entstehen können, die ebenso durch Symbole (z. B. Buch¬ 
staben) bezeichnet werden, wie vordem die fest gegebenen, unver¬ 
änderlichen Zahlen. Diese Symbole werden nun Variable genannt. 
Insbesondere kann die Variabilität eine solche sein, dass die er¬ 
zeugten Zahlenmannigfaltigkeiten continuirlich werden. Dann unter¬ 
scheidet sich eine Zahl von einer zunächst folgenden nur durch 
einen unendlich kleinen Betrag. Die so resultirenden unendlich 
kleinen Differenzen, in welchen sich die Zahlenwerthe zu ver¬ 
schwindenden und doch noch existirenden Größen verflüchtigen, 
werden als Differentiale der Rechnung unterworfen und bilden trotz 
ihrer geheimnissvollen Existenz durch die Methoden der Differential- 
und Integralrechnung das mächtigste Instrument der auf die variable 
Zahl gegründeten Untersuchungen, die man in ihrer Gesammtheit 
als Analysis zu bezeichnen pflegt. Vor allem interessirt hier das 
Abhängigkeitsverhältniss, in welchem Variable sowohl bezüglich der 
Form des sie verbindenden rechnerischen Processes als auch be¬ 
züglich der Eigenschaften der durch sie dargestellten Zahlenmannig¬ 
faltigkeiten stehen können. Die eine Variable heißt dann eine 
Function der anderen Variablen und alle Variablen können gleich¬ 
zeitig Veränderungen ihres Werthes erleiden, die im allgemeinen 
stetiger Natur zu sein vermögen. Es erscheint nun selbstverständ¬ 
lich, dass die Verhältnisse der unendlich kleinen, simultanen 
Veränderungen der Variablenwerthe durch Differentialquotienten 
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