Bauhaus-Universität Weimar

460 § 22. Begriff und Regeln der mathematischen Wahscheinlichkeit 
B. Ein weiteres Paradoxon Bertrands ist das berühmte 
Sehnenproblem: Wie verhalten sich die Wahrscheinlichkeiten, 
daß eine im Kreis gezogene Sehne kleiner und daß sie größer sei 
als die Seite eines in den Kreis eingeschriebenen gleichseitigen Drei¬ 
ecks ? — Bertrand findet, man könne ebensogut 2:1 (2/3 für die 
erste, 1/3 für die zweite Annahme), als 1:1 (also 1/2 für jede 
der beiden Annahmen) als auch 3:1 (3/4 für die erste, 1/i für die 
zweite Annahme) ausrechnen. 
Zieht man erstens die Sehne von einem bestimmten Punkte 
des Kreisumfanges aus, der zugleich ein Eckpunkt des Dreieckes 
sein soll (Abb. 1), so ist klar, daß die durch das Innere des Dreiecks 
selbst gehenden Sehnen größer, die rechts und links davon ver¬ 
laufenden kleiner sein müssen als die Dreieckseite, und daß von den 
Abb. 1 
A 
Abb. 2 
drei durch die Dreieckseiten abgegrenzten untereinander gleichen 
Kreisbogen zwei die kürzeren und nur einer die längeren Sehnen 
enthält. Man kann auch sagen: von den drei unter sich gleichen 
Winkeln zu 60°, in welche die Sehne fallen kann, enthalten zwei die 
kleineren, einer die größeren Sehnen. Jeder andere beliebige Punkt 
des Kreisumfanges aber, den man als Ausgangspunkt von Sehnen 
wählen könnte, muß notwendig zu demselben Ergebnis führen, 
und so trifft die Berechnung für die Gesamtheit aller im Kreise 
möglichen Sehnen zu. 
Nach Bertrands zweiter Berechnungsweise würde man so Vor¬ 
gehen: wir ziehen (Abb. 2) von einem Eckpunkt des Dreiecks eine 
Senkrechte A E auf die gegenüberliegende Dreiecksseite und ver¬ 
längern sie bis zum Kreisumfang. Ziehen wir dann parallel zur 
unteren Dreiecksseite einen Durchmesser H I durch den Mittel¬ 
punkt des Kreises, so zerfällt die untere Abteilung der Senkrechten 
würden. Eine verschiedene W bei gleicher, genau bestimmter Problem¬ 
stellung hält auch er für ganz ausgeschlossen.
        

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