3. Der Bayessche Satz (Die Regel der Hypothesenbewertung) 517
aller möglichen Hypothesen aber die möglichen Fälle eines W-
Bruches. Man kann so die konkrete W einer Hypothese als einen
besonderen Fall einer W-Bestimmung anffassen, welche aus den
vorliegenden Daten a priori folgt. Jedenfalls beruht ihre Definition
auf ganz derselben Überlegung wie die der mathematischen W
überhaupt.
Man kann ja auch umgekehrt bei einer elementaren apriori¬
schen W-Bestimmung, wie der eines bestimmten Wurfes mit dem
Würfel, sich so ausdrücken: ,,6 Hypothesen sind gleichmöglich,
eine davon ist günstig“. Es ist nur der Unterschied, daß die
Hypothesen sich in diesem Fall auf die Ereignisse selbst beziehen,
im Falle von Bayes hingegen auf die Ursachen der Ereignisse,
allgemeiner auf die hypothetischen Tatbestände, welche den Er¬
eignissen bestimmte W-en verleihen.
Man wende nicht ein: ,,Bei der elementaren apriorischen W-
Bestimmung müssen im Nenner alle Fälle gleich möglich sein,
während im Bayesschen Satze die dort summierten W-en der
möglichen Hypothesen sehr verschiedene Werte haben können.“
Denn auch bei der elementaren apriorischen W-Bestimmung
können sowohl im Zähler wie im Nenner Gruppen von Einzel¬
fällen stehen, die durch Summierungen gleichmöglicher Fälle ent¬
standen sind. Es handle sich z. B. um die W, mit 2 Würfeln die
Augenzahlen 5 und 3 zu werfen. Die W ist
2
“"1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ~+5 + 4 + 3 + 2+T’
Der Zähler gibt die Anzahl der Permutationen für das Werfen
der Ziffern 5 und 3 an, der Nenner die Anzahlen der Permuta¬
tionen, die sich für die aus beiden Augenzahlen resultierenden
Summen von 2 bis 12 ergeben. Sie wachsen bis zur Augensumme 7,
wo sie 6 betragen, und nehmen dann wieder ab. Es ist also
die gesuchte W gleich der W der fraglichen Hypothese, geteilt
durch die Summe der unter sich sehr verschiedenen W-en aller
übrigen Hypothesen, ganz wie es auch der Bayessche Satz ver¬
langt.
Dem Bayesschen Satz eigentümlich ist, daß jedes Glied,
sowohl im Zähler wie im Nenner, eine abhängige W, also schon
das Produkt zweier elementaren W-en darstellt. Bayes hat daher
bewußt und ausdrücklich diesen Begriff der abhängigen W als
einen fundamentalen seiner Beweisführung vorausgeschickt.
Stumpf, Erkenntnislehre. Bd. II. 34