Bauhaus-Universität Weimar

2. Der Bernoullische Satz (Gesetz der großen Zahlen) 
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Nach dem Bernoullischen Satz ist die wahrscheinlichste An¬ 
zahl von Ereignissen einer bestimmten Art in einer zufällig ver¬ 
laufenden großen Reihe —Np, wo p die elementare Wahrschein¬ 
lichkeit dieser Ereignisse bedeutet. Man kann nun, wenn die 
Gliederzahl n der verlangten J sehr klein ist gegen N, die J selbst 
als Einzelereignisse betrachten. Ist daher die elementare Wahr¬ 
scheinlichkeit einer solchen J == pi5 so ist die wahrscheinlichste 
Anzahl = Npj. Der Wert pj ergibt sich aber durch eine kurze 
1 
Überlegung1 = —xp Also ist die gesuchte wahrscheinlichste 
Anzahl2 = 
N 
2n+1 ’ 
Hieraus folgt u. a., daß die wahrscheinlichste Anzahl der 
nichtiterierenden, also alternierenden Glieder einer solchen Reihe 
N 
—— ist, da man jedes derartige Glied als J von der Gliederzahl 1 
N 
betrachten kann. Der nämliche Wert —- ergibt sich auch als 
4 
Näherungswert für die Summe aller Iterationen zu beliebig vielen 
Gliedern in der Reihe, da N (V8 + 1/1G -f 1/32 + . . .) ins Unend- 
N 
liehe fortgesetzt = “ist. Ferner lassen sich aus dem Anfangs- 
N 
werte — für n = 1 durch fortgesetzte Division mit 2 die Werte 
für n = 2, 3, 4 . . ., also die wahrscheinlichsten Anzahlen der J 
bis zu beliebig großer Gliederzahl ableiten. 
Auch diese Berechnungen werden bei ungleicher Elementar¬ 
wahrscheinlichkeit der beiden Ereignisse zwar komplizierter, aber 
nicht prinzipiell unmöglich3. 
1 Eine Iteration eines Elementes muß, abgesehen von den am Anfang 
und am Schluß der ganzen Reihe stehenden J, durch 2 entgegengesetzte 
Elemente beiderseits abgegrenzt sein. Es bleiben also N — (n + 2) Reihen¬ 
glieder variabel, und die Anzahl dieser Variationen beträgt 2N~~(n+2) 
sowohl für eine a- als für eine b-Iteration. Also ist 2N~(n+Ü die Zahl der 
günstigen Fälle. Die der möglichen Fälle ist 2N. Dividiert man die Zahl der 
günstigen durch die der möglichen Fälle, so resultiert die obige Formel. 
2 v. Mises und v. Bortkiewicz sprechen hier nicht von der wahrschein¬ 
lichsten Anzahl, sondern von dem Erwartungswert oder der mathematischen 
Erwartung (vgl. o. S. 475), gelangen aber bei deren Ableitung zu der näm¬ 
lichen Formel. 
3 Vgl. die Ausführungen der oben in Anm. 2 genannten beiden Mathe- 
Stumpf, Erkenntnislehre. Bd. II. 33
        

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