Bauhaus-Universität Weimar

Titel:
Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik. Dritte umgearbeitete Ausgabe
Person:
Helmholtz, Hermann von
PURL:
https://digitalesammlungen.uni-weimar.de/viewer/image/lit3865/604/
Beilage IV. Zu Seite 95 und 119. 589 
müssen vermittels der Gleichung (6a) bestimmt werden. Diese zerfällt bei 
Substitution der Werthe von y aus (7) in zwei Gleichungen, indem man die 
Summe der mit sin (mt) multiplicirten Glieder für sich gleich Null setzen 
muss, und ebenso die Summe der mit cos (mt) multiplicirten Glieder. Diese 
beiden Gleichungen sind : 
F [(/2 — Mm2) sin pl -f- p 8 cos pl] — Gmg2 sin pl •> 
= — A [(/2 — Mm2) cos^p l — p S sin pT\ ( . (8a) 
F mg2 sin pl-\- G [(/2 — Mm2) sin pl -f- P S cos pl] = — A g2 m cospl ) 
Setzt man zur Abkürzung 
p S . j 
f—-Mm2 = tm9h 
(f2 _ Mm2)2 + p2S2 = C2 
so erhält man die Werthe von F und G wie folgt: 
C2 sin 2 (pl -f- 7c) -f- f)]2 -(- G2 sin2 (pl), 
und wenn man die Werthe für F und G aus (8c) hierein setzt, so erhält 
AG sin 7c 
V G2 sin2 (pl -J- 7c) -{— m2gl sin2 (pl) 
Der Zähler dieses Ausdrucks ist unabhängig von der Länge der Saite. 
Aendert man diese Länge, so kann sich nur der Nenner verändern. Unter 
dem Wurzelzeichen steht hier die Summe zweier Quadrate, welche nicht 
Null werden kann, da die Grössen m, g, p, S und daher auch 7c nicht Null 
werden können. Der Coefficient g des Luftwiderstandes ist jedenfalls als 
eine verschwindend kleine Grösse zu betrachten. Es erreicht also der Nenner 
seinen kleinsten und I seinen grössten Werth, wenn 
sin (pl + 7c) = 0 
oder wenn 
pl = a7i — 7c...............(9a) 
worin a eine beliebige ganze Zahl bedeutet. Der Werth des Maximums von 
I ist 
i =^£. 
M m g2 
Er ist also unter übrigens gleichen Umständen um so grösser, je klei¬ 
ner g, der Coefficient des Luftwiderstandes, ist, und je grösser C ist. Um 
übersehen zu können, von welchen Umständen die Grösse von C abhängt, 
setzen wir in die zweite der Gleichungen (8 b), wo der Werth von G defi- 
nirt ist, den Werth von p2 aus (7 a), und setzen ausserdem 
a /2 
n* = M> 
so ist 
6'2 = M2 (n2 — m2)2 -f- S p m2. 
Die Grösse n ist die Zahl der Schwingungen, welche der Steg in 2 n
        

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