Bauhaus-Universität Weimar

Titel:
Die Ewaldsche Hörtheorie: Eine Untersuchung der mathematisch-physikalischen Grundlagen der Ewaldschen Hörtheorie, nebst einer allgemeinen Behandlung des Problems der erzwungenen, gedämpften Schwingungen inhomogener Systeme
Person:
Koch, Hans
PURL:
https://digitalesammlungen.uni-weimar.de/viewer/image/lit36047/29/
Die Ewaldsche Hörtheorie 
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§ 7. 
Es sei an dieser Stelle noch eine Bemerkung zugefügt. Die 
oben behandelte Gleichung (18) ist ein besonderer Fall der 
Integralgleichung 
(18a) y (x) —f[& K>) (x, §) -|-----\-l K« (x, f) 
+ K(°>(x,|)]y(£)d£ = f(x) 
deren „Kern“ ein Polynom vom Grade fi in l ist. KM (x, f) be¬ 
zeichne den zur Potenz & gehörigen Teilkern. Es können be¬ 
liebig viele K verschwinden, doch sei im folgenden KM ^ 0 an¬ 
genommen. Die für (18) gefundene Lösung läfst sich nun leicht 
auf den Fall (18a) erweitern. Das läfst sich im Anschlufs an das 
früher ausgeführte mit wenigen Worten zeigen. 
Geht man von einem der Gleichung (4) entsprechenden 
System von n linearen Gleichungen mit n Unbekannten aus, 
so wird man auf eine Koeffizientendeterminante geführt, die man 
in eine (10) entsprechende Determinante (p -|~ l)n -ter Ordnung 
verwandelt denke. Diese Verallgemeinerung von (10) ist leicht 
zu finden : Die Diagonalreihen der — 1 und 1 sind dabei fort¬ 
zusetzen. Entwickelt man wie in (10) nach den Elementen der 
letzten Spalte, so erhält man schliefslich (fi -j- l)n Determinanten 
n-ter Ordnung. Die weiteren Betrachtungen sind dann genau 
dieselben wie die oben für den Fall ^ = 2, K(°) — 0 angestellten. 
Nach dem Übergang zur Integralgleichung erhält man die Lösung 
zu (18a) wieder in der Form (19). A wird als Quotient zweier 
Potenzreihen dargestellt, dessen Zähler beginnt d0 (x,f) + d, (x,f)A 
+ ..und dessen Nenner lautet 1 + d0 -f- dx l -f-.... Die d werden 
durch Formeln bestimmt, die (22) und (23) entsprechen. Ist aber 
in (18a) K(0) =f= 0, so treten vor den Integralen Doppelsummen 
auf. Wir verzichten auf die Angabe dieser Ausdrücke und der 
zugehörigen Rekursionsformeln. Der oben geführte .Konvergenz¬ 
beweis und alle Ableitungen lassen sich mit den entsprechenden 
Änderungen übertragen. 
III. Lösung der Differentialgleichung der schwingenden 
Membran für spezielle*Annahmen und Ableitung der Resultate 
Ewalds 
§ 1. Ableitung der Lösung 
Im vorangehenden ist das Schwingungsproblem für die all¬ 
gemeinsten Annahmen mit Hilfe der Integralgleichungen gelöst
        

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