Bauhaus-Universität Weimar

Titel:
Die Ewaldsche Hörtheorie: Eine Untersuchung der mathematisch-physikalischen Grundlagen der Ewaldschen Hörtheorie, nebst einer allgemeinen Behandlung des Problems der erzwungenen, gedämpften Schwingungen inhomogener Systeme
Person:
Koch, Hans
PURL:
https://digitalesammlungen.uni-weimar.de/viewer/image/lit36047/18/
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Hans Koch 
II. Allgemeine Lösung des Problems der erzwungenen, 
gedämpften Schwingungen inhomogener Systeme 
§ 1 
Denkt man sich die Ebene einer Membran mit der x, y-Ebene 
eines rechtwinkligen, räumlichen Koordinatensystems zusammen¬ 
fallend und versteht unter z die Auslenkungen der Membran, 
so kann man ihre Schwingungsgleichung in der Form schreiben: 
(i) 
ö z 
)+ 
Q 
ö z 
= H 
ö2z 
+ y 
d z 
A cos nt 
öxT öx/ 1 öy\^dy/ dt* 1 / dt 
wenn P und Q die Spannungen in Richtung der x- und y-Achse 
bezeichnen, u die Massendichte, y den Dämpfungsfaktor, A die 
Amplitude und n die Frequenz der erzwingenden Schwingung. 
Alle diese Gröfsen seien Funktionen von x und y, z ist aufser- 
dem noch von der Zeit t abhängig. Diese Gleichung (1) läfst 
sich mit Hilfe einiger Rechnungen vereinfachen. Wir ersetzen 
zunächst, um t herauszuschaffen, z durch ze^ und bezeichnen 
k2 == — l2ju — ly. Ferner kann man eine Transformation £ = u (x, y) 
und r) — v (x, y) so wählen, dafs der aus P hervorgehende Aus¬ 
druck P gleich dem aus Q hervorgehenden Q wird. Demnach 
läfst sich (1), wen man statt § und rj wieder x und y schreibt, 
überführen in 
(2) 
ö z\ 
+ 
öx\ bxf— öy \ öj 
a 
0 
worin r, k2 und a wieder Funktionen von x und y sind. 
z hat der Randbedingung z = 0 zu genügen, wenn z den 
Wert von z auf dem Rande des Gebietes bezeichnet. Versteht 
man nun unter G(x, y; £, rj) die Greensche Funktion des vor¬ 
liegenden Randwertproblems, die an der Stelle §, rj logarithmisch 
unendlich wird, und bezeichnet man die Stellen x, y und £, rj 
des Grundgebietes kurz mit 0 und 1, eine Schreibweise, die den 
Vorzug hat, für beliebige Dimensionen gültig zu bleiben, so läfst 
sich z als Lösung der Integralgleichung auffassen: 
z (0) +/G (0,1) k2 (1) z (1) d s — f (0), 
wenn 
—/G(0,1) • a(l) ds = f(0). 
Die Integrale sind über das Grundgebiet zu erstrecken. Der 
Kern Gk2 läfst sich nicht symmetrisieren, da k2 noch l2 und l 
enthält, doch kann man ihn in einen symmetrischen und einen 
unsymmetrischen Teil zerlegen. Multipliziert man:
        

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