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H. Philipps
]£ k_1
2 7t Zk^-2 7t ZXju k
— nlk2 sin ———T-sin 2mi kh
^k ^—o
k-1 k—1
2 TtSk^—2 TtSk^ k—1
+ Ak cos —^=0—y—/U==0— cos 2jvu ku
k /u=o
k-i k—1
2tv I ku — 2 7t S k^ k—î
-f- nlk2 sin — -—y-—— sin 2/m ^
k ,,—n
Da in den vier auftretenden Produkten die ersten sin immer
= 0 und die an erster Stelle stehenden cos = 1 werden, reduziert
sich der Wert des Integrals auf:
k
27t Sk^
jU—r)
k-1
27t Sk u
jU==0
X
k-l
2 7t S k/u
^=0
cos nx dx
[ k_1
l cos 2mi ^ ku — cos
{ /u=0
(11a)
Setzt man in (10b) die Grenzen ein, so entstehen wieder vier
Produkte, deren an erster Stelle stehende sin = 0 und deren erste
cos = 1 werden. Führt man die Rechnung durch, so erhält; man
schliefslich :
k _
2 TtSku
x
fsi»-
k—l
2rcSku
^=o
k—1
sin 2^n
/'=0
k-l
2 7t S kft
, '“==0~ ■ sin nx dx
sin2îrn
*
^k
^ n 1— nUk
^=0 1
(11b)
Für den Fall, dafs n = 0 ist, wird das Integral (11a) gleich 0.
Da aber 5ran gleich der Summe, erstreckt über dies Integral von 1
bis m ist, wird Tt&0 = 0 d. h. a0 = 0.
Damit erhalten wir für die Koeffizienten der Fourierreihe,
welche die Amplituden aller den Hauptton zusammensetzenden
Teiltöne darstellen, folgende Resultate: