Messungen und Berechnungen.
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ab, quadrieren und addieren, und erhalten für den gesuchten Ausdruck die
Beziehung
n —1 n —1 f*
(30) 26v2 = 2 — j |2^A„2 + (A Ap2 + ABp2)j •
0 0 1
Hier ist die rechte Seite der Gleichung eine Funktion der unbekannten
Messungsfehler, während die linke Seite einen bekannten, aus der Gleichung
(29) zu berechnenden numerischen Wert hat. Um die Genauigkeit der
Messungen zu ermitteln, hat man, nach dem von Gauß eingeführten Prinzip,
die rechte Seite von (30) durch ihren a priori zu erwartenden wahrschein¬
lichen Wert zu ersetzen. Es sei W(x) der wahrscheinliche Wert einer
Größe x, und s der mittlere Fehler einer Messung (unter der vorläufigen
Annahme, daß s für alle Messungen gleich ist); wir haben dann (Linde¬
löf (186e) S. 17):
W [A A„2] = i- £2; W [ A Ap2] = W [A Bp2] = «2,
und daher für die rechte Seite von (30), die wir mit X bezeichnen wollen,
W [X] = (n — m) £2,
woraus die fundamentale Formel der Fehlerrechnung gleich hervorgeht:
(31)
(n — m)
Hier ist der numerische Wert von XcL2 aus (29) zu entnehmen. Das
Quadrat des mittleren Fehlers rj, den man begeht, indem man die Größe X
durch ihren wahrscheinlichen Wert (n — m) f2 ersetzt, ist
??2 = W[{X-(n — m)f2}2] = 2(n — m)e4;
daher wird der bei dem Werte (31) von a2 zu befürchtende mittlere Fehler
(32)
£
2
Aus (31) und (32) sieht man, daß die Werte s und rj um so genauer werden,
je größer n — m ist.
Dies ist der „klassische Fall“ der Methode der kleinsten Quadrate, der
Fall nämlich, wo man im voraus weiß, daß es mehr Bedingungsgleichungen
als Unbekannte gibt. Diese Voraussetzung wird aber im Studium der Laut¬
kurven nicht eintreffen; a priori kennt man nichts von den Eigenschaften
der Kurve.
So wie sie zur Analyse vorliegt, also unbekümmert um die eventuellen
Apparatenfehler, enthält sie eine unbekannte Anzahl Konstanten, die wir
mit Lindelöf und Pipping reell nennen wollen. Zur Bestimmung dieser
Konstanten messen wir n Ordinaten aus, deren Werte natürlich mit gleich¬
falls unbekannten Messungsfehlern behaftet sind. Diese Messungsfehler
