Messungen und Berechnungen. 
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Der Einfluß der kombinierten Abzissen- und Ordinatenfebler ist natür¬ 
lich für verschiedene Teile der Kurve verschieden. In einer annähernd 
horizontalen Strecke der Kurve ist der Abszissenfehler belanglos. An steilen 
Strecken ist aber nicht nur der zu befürchtende Ordinatenfehler etwas größer, 
sondern der Einfluß des Abszissenfehlers wird dort noch bedeutender. An 
solchen Teilen muß die Präzision der Messungen geringer sein, als an mehr 
wagerechten Strecken. Ebenso steht die Genauigkeit in umgekehrtem 
Verhältnis zur Schärfe der Kurvenränder, was besonders bei der photo¬ 
graphischen Registrierung zu beachten ist. 
Die Bedeutung des Messungsfehlers wird geringer, wenn die Messungen 
unter der größten, mit einer praktischen Ausführbarkeit vereinbaren Ver¬ 
größerung vorgenommen werden. 
Der Fehler läßt sich übrigens dadurch vermindern, daß die Messungen 
wiederholt werden. In diesem Falle nimmt man als definitiven Wert von 
yv den Mittelwert der n einzelnen Messungen, und der mittlere Fehler dieses 
Mittelwertes ist nach der Methode der kleinsten Quadrate durch den 
Ausdruck 
(13) 
gegeben. 
Die Wiederholung der Messungen kann im Anfang, und solange die 
Übung fehlt, als zweckmäßige Kontrolle empfohlen werden. Nachher ist sie 
weniger notwendig, und es bleibt der Nachteil des Zeitverlustes übrig. Man 
würde jedoch diese Mühe mit in den Kauf nehmen, wenn es nicht eine 
Methode gäbe, die indirekt einen Rückschluß auf den Betrag dieses Fehlers, 
oder auf eine obere Grenze desselben erlaubt. Diese von Hens en (182, An¬ 
hang) angegebene Methode ist von Pipping angewandt worden. Gegen die 
Zulässigkeit derselben hat Hermann Einwände erhoben, worauf Pippingund 
Lindelöf geantwortet haben (186). Das Prinzip des Verfahrens besteht da¬ 
rin, daß man von den n Konstanten der Reihe (23) nur eine geringere 
Anzahl zur Rekonstruktion der ursprünglichen Kurve benutzt, indem man 
annimmt, daß die vernachlässigten Konstanten aus den Be ob achtungs fehlem 
entspringen, welche man auf Grund dieser Konstanten mittels der kleinsten 
Quadrate zu bestimmen sucht. Ich werde im folgenden die Methode im 
Anschluß an Lindelöf entwickeln und begründen. 
Die Voraussetzung für die Anwendung der Methode der kleinsten 
Quadrate ist, daß es mehr Bedingungsgleichungen als zu bestimmende Un¬ 
bekannte gibt. Wir wollen daher zuerst annehmen, daß man a priori weiß, 
daß die Fourier sehe Entwickelung der Kurve mit dem Index p erschöpft 
ist, und weiter, daß man zur Bestimmung der vorhandenen 2p -f- 1 =m Kon¬ 
stanten n Ordinaten gemessen hat (n^>m). Dann hat die Gleichung der 
Kurve die Form 
p=i 
p=i