Messungen und Berechnungen.
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2. Oder die Reihe hat mehr als n Koeffizienten, so daß .....,
. darin wirklich Vorkommen. Dann sind die Glieder der Reihe
nicht gesondert, sondern nur in den Kombinationen (20) zu erhalten, die man
allein berechnen kann. Wir werden jedoch unten S. 208 ff. sehen, daß man
den Einfluß dieser unbestimmbaren Glieder von höherem Index durch eine
besondere Anordnung der Rechnungen bis auf einen gewissen Grad elimi¬
nieren kann.
3. Oder endlich hat die Reihe weniger als n Glieder und bricht mit
(71/
fiJab. Dann gibt es mehr Gleichungen als Unbekannte.
Wenn die yv die wahren Werte der Ordinaten sind, so sind die Gleichungen
exakt zu lösen; wenn aber, wie es mit empirischen Werten stets der Fall
ist, die gemessenen Werte yv nicht genau sind, so leisten die Koeffizienten
(23) den Gleichungen (21) nicht mehr Genüge; die Gleichungen sind unver¬
träglich. Diesen Fall werden wir untern S. 169ff. berücksichtigen.
Mit Hilfe der Ap und Bp bestimmt man nach (18) die Amplituden der
Teilschwingungen Ci, C2,.....Cn , und deren Phasenverschiebungen.
~2~1
Durch Anwendung der Reihe (19) kann man die ursprüngliche Kurve
rekonstruieren, was namentlich als Kontrolle der Rechnung wünschenswert
sein kann. Sind nämlich sämtliche Ap, Bp berechnet worden, so muß die
Entwickelung
n
2
1
(24) jv — A0 -j- Cp sin (y pz -f- Ap) -f- Aj^cos
p=0
diejenigen Werte von yv wiedergeben, die der Rechnung zugrunde lagen.1).
Gegenüber den Ausdrücken (16) geben die Formeln (23) nur Näherungs¬
werte der Konstanten. Bei wachsendem n (und also abnehmendem z) kommt
man immer näher an den Wert, den die Integration geben würde. Da die
Summen (23) aber zugleich umfangreicher und die Rechnungen zeitraubender
werden, so soll man n nicht unnötig groß nehmen (vgl. jedoch unten S. 175).
Im allgemeinen kann man sagen, daß es genügt, wenn der zwischen zwei
Ordinaten gelegene Teil der Kurve einen gleichmäßigen Verlauf zeigt und
keinen singulären Punkt enthält.2) Je nach dem Aussehen der Kurve wird
diese Bedingung mit verschiedenen Minimiwerten von n erfüllt. Schneebeli
und Lahr rechneten mit 24 Ordinaten; Bevier mit 12 bis 36; Hensen
empfiehlt als Minimum 36; Hermann gebraucht 40, Pipping, je nach
1) Natürlich gibt auch die Anwendung der Reihe (21) diese Werte wieder; die
Berechnung der Reihe (24) ist aber wohl weniger zeitraubend als die von (21).
2) Mitunter sagt man, ein solcher Teil müsse praktisch als eine gerade Linie an¬
gesehen werden können. Diese Bedingung ist nicht nötig, sondern nur der gleichmäßige
Verlauf der Kurve innerhalb dieser Grenzen. Eine einfache Sinuskurve wäre z. B. mit
4
Ordinaten völlig definiert, obwohl die Intervalle von yv bis?/j>-{-i
von einer
ge¬
raden Linie stark abweichen würden.
