Messungen und Berechnungen.
161
Die Analyse nach Fourierschen Reihen.
I. Die Theorie.
Die seit etwa dreißig Jahren meistens angewandte und wohl auch
beste Methode des Studiums ist die sogenannte harmonische Analyse1).
Zuerst wurde sie von den schweizerischen Forschern Weber2) und
Schneebeli (123), dann von Jenkin und Ewing (168), Lahr (165),
Hens en (182), Pipping (128), Hermann (131b), Boeke (163), Scrip¬
ture (166) usw. angewandt und vervollkommnet. Sie beruht auf der prak¬
tischen Verwertung eines Satzes, dessen allgemeine Gültigkeit in der
Wellenlehre Fourier (183) zuerst bewiesen hat, und der unter seinem
Namen bekannt ist.
Der Satz Fouriers läßt sich folgendermaßen formulieren: jede Funktion
einer Veränderlichen x läßt sich in einem Intervall Obis 2ji (oder von —jt
bis + je) durch eine Summe von zwei unendlichen trigonometrischen Reihen,
nämlich je einer Sinus- und Kosinusreihe, eindeutig darstellen. Die Glieder
jeder Reihe schreiten bezüglich des Argumentes nach den Vielfachen des
Sinus, bzw. des Kosinus von x fort; jedes ist mit einer bestimmten, ihm spezi¬
ellen Konstante behaftet. Ist speziell die Funktion periodisch und von der¬
selben Periode wie die Reihe selbst, so ergibt sich daraus die Möglichkeit
einer Darstellung für den ganzen Funktionsbereich.
In unserem Falle stellen die Kurven Funktionen der Zeit dar, die sich perio¬
disch wiederholen. Es sei eine, z. B. zwischen 2 Minimistellen liegende Strecke
vorgelegt, eine Welle der Kurve. Die Abszissenlänge bestimmt die Periode T,
so daß der Anfang der Welle den Abszissenwert 0, das Ende den Wert T
hat. Für irgendeinen Wert der Zeit x innerhalb der Periode (x variiert
dann von Obis T) wird die Elongation y oder der Wert der Funktion im Augen¬
blicke x durch folgende Reihe ausgedrückt:
(14) y = a0 + a1
2* , 2*
cos x -f- a2 cos j— x —]----
fT
2yr
—(-an cos z— x +
„T
+ t>i
. 2ji .2jz
sm x b2 sm z x -)----
. , . 2jr
----b bn sm z— x +
1 - nn
n x
- T
n x
oder, wenn wir-^r = A setzen:
(15) y = a0 -f- a, cos hx -j- a2 cos 2hx -j-.....+ an cos nhx-f-
+ bt sin h x -f- b2 sin 2hx -f-.....+ bn sin nhx-f
1) Die damit verknüpften Probleme sind in ihrem historischen Zusammenhang
von Burkhardt (134) eingehend dargelegt worden. Eine theoretische Darstellung
und Beweisführung findet man in den Handbüchern der Analyse, z. B. von E. Picard
und a.; Auerbach (106) S. 26flf. erörtert auch die Frage. Runge (185) Kap. IV gibt eine
gedrängte Darstellung der Theorie und Praxis. Die Literatur ist sonst sehr groß.
2) Nach den Angaben von Scripture (166) im Vorwort seiner Arbeit.
Tigerstedt, Handb. d. phys. Methodik III, 6. 11
