Die historischen Hauptmethoden der Schwellen- und Fehlermessung. 269 
sich aus der Definition der beiden hypothetischen K.-G. der oberen und unteren 
Schwelle f0(x) und fu(x) dadurch ableiten, daß man beide Verteilungs¬ 
funktionen genau kongruent setzt, wie es schon § 29,c,2 (S. 178) bei 
der Behandlung der beobachteten Verteilung des mittleren Falles Fu(x) er¬ 
wähnt wurde. Diese Hypothese ■widerspricht also ganz direkt der Unab¬ 
hängigkeit, die nach Gl. [15] zwischen Fg(x) und Fk(x) besteht, und wäre 
nach Gl. [216] und [224] nur erfüllbar, wenn beide extreme Urteilskurven 
durch eine Verschiebung parallel zur X-Achse (um E0 — EU = E0 Eu = 
r0—ru) in kontradiktorische Komplemente (nach Gl. [215], S. 168) 
übergeführt werden könnten, wie sie in § 29,b und Fig. 7a und b (S. 171) 
in der Tat aus zwei kongruenten Schwellenverteilungen abgeleitet wurden1). 
Nachdem man aber nun einmal die Unabhängigkeit der beiden K.-G. f0(x) 
und fu(x) von einander aufgegeben hat, läßt' sich natürlich auch das 
ganze System der Beobachtungskurven trotz des Hinzutretens 
der mittleren Fälle überhaupt auf einen einzigen K.-G. f(x) wie in 
Fig. 7 b zurückführen. Man braucht sich hierzu nur die beiden unter 
sich kongruenten K.-G. f0(x) und fu(x) der Grenzreize r^ und ru durch einen 
einzigen, zwischen ihnen angesetzten K.-G. mit einer ebenfalls hierzu 
kongruenten Verteilungsfunktion 
Fk(x-Su) 
[304] 
dx 
ersetzt zu denken, der die Schwankungen des jeweiligen subjektiven 
Äquivalentes  zum Normalreiz N (s. S. 250), bzw. des jeweiligen 
Totalfehlers f=A — N zur Darstellung bringt. Die jeweilige Lage des 
oberen und unteren „Grenzreizes“ ist dann hieraus völlig eindeutig in der 
schon aus Gl. [304] ersichtlichen Form abzuleiten, daß man sie von dem 
jeweiligen Äquivalenz wert2) um die nunmehr konstant erachtete wahre 
obere bzw. untere Schwelle S0 und Su entfernt annimmt (s. S. 251). 
Die S. 168 f. betrachtete Unmöglichkeit, über den jeweiligen Einzel wert 
der Doppelschwelle r0—ru genauere Angaben zu machen, ist also zugleich 
mit der Annahme einer genauen Kongruenz der beiden hypothetischen K.-G. 
f0(x) und fu(x) sinngemäß in Wegfall gekommen3). 
1) Damit die Kurven Fg(x) und Fk(x) einen symmetrischen Verlauf zeigen, 
wie es im allgemeinen noch eher als jene Ableitung aus der Form [215] zu beobachten 
sein dürfte, wäre nicht nur erforderlich, daß die Verteilungen f0(x) und fu (x) unter 
sich kongruent, sondern auch in sich selbst symmetrisch sind. 
2) Dieser, bzw. der Totalfehler f, sind also hier als zufällig variable Einzelwerte 
und nicht als Hauptwerte gedacht. 
3) Doch ist hiermit natürlich über die jeweilige Lage des Äquivalenzwertes selbst 
und somit auch über dessen Hauptwert A noch gar nichts präjudiziert, da ja die 
Größe der beiden Abschnitte So und Su der Doppelschwelle dahingestellt 
bleibt. Nur ihre Summe S0 + Su ist zunächst als der Abstand r0 — ru homogener 
Stücken der beiden kongruenten K.-G. fo(x) und fu(x) gegeben, die ihrerseits durch 
die Beobachtungen Fg(x) und Fk(x) festgelegt sind, so daß wir auch bei der Ab¬ 
leitung des einzigen hypothetischen K.-G. f(x) hiervon auszugehen haben. Nach einer 
Entscheidung über die Berechnung des Äquivalenzhauptwertes läßt sich dann natür¬ 
lich auch die Lage des mittleren K.-G. f(x) und daher auch jeder der beiden Schwellen¬ 
abschnitte So und Su im einzelnen ganz angeben.