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. W. Wirth, Psychophysik.
Endlich kann noch h' • ?] sogleich als neue Unbekannte £ eingeführt werden.
Jedenfalls wird durch dieses Verfahren außer h = h' + g auch s = s' + rj
direkt gefunden und nicht in der Kombination k = h-s, was für die
theoretische Korrektheit dieses Ausgleichungsmodus ebenfalls vorteilhaft in
Betracht kommt
Ein besonderes Zahlenbeispiel erübrigt sich wohl, zumal wir die Methode
der kleinsten Quadrate im Folgenden noch einige Male unter komplizierteren
Bedingungen (bis zu 3 Unbekannten) anwenden wollen, diese Berechnungen
aber natürlich nach dem nämlichen Schema auszuführen sind.
4a. Fechner empfahl seinerseits a. a. O. als „Korrektionsverfahren“
eine Variante dieses Schemas, die wir jedoch in einer etwas anschaulicheren
und zugleich wieder auf die Anwendung der Bruns sehen Tabelle für (Pl be¬
rechneten Form ableiten wollen. Man kann sich nämlich die wahre Funktion
F(h' + g, s' + rj) = F(ti' + Ti),
nicht nur mittels ihrer Abgeleiteten nach h' und s' in Potenzen von g und t],
sondern zunächst auch schon einfach mittels der Abgeleiteten nach t in
Potenzen von t entwickelt denken. So erlangt man bei Beschränkung auf
die erste Potenz, wenn wieder F(x) = ^(x) isb
2F (F + g, s' + n) - 2 F (h', s') = 2r, • =n <P, (*,')• [278]
Da also die rechte Seite dieser Gleichung ebenfalls ein Äquivalent des
Fehlers ist, der zwischen dem tatsächlich beobachteten z und dem mittels
der Annäherungen h0 und s0 berechneten z' übrig bleibt und der vorhin
nach Potenzen der Korrektionen g und rj entwickelt wurde, so kann man die
beiden rechten Seiten von [277J und [278] einander gleich setzen, und hat dann
Ti <P{ (O = <P, (O (di - s') I ■- (O c, [279]
worin wieder Ç = h'rj. Hierbei ist also Ti die Differenz zwischen dem
„wahren“ ti, das dem beobachteten z nach Gleichung [271] zugeordnet ist,
und dem aus den Annäherungen h' und s' berechneten ti'. (ti') aber
hat als ein allen Gliedern gemeinsamer Faktor offenbar ana¬
lytisch vollständig die S. 144 erläuterte Bedeutung eines Ge¬
wichtsfaktors pi. Bei Fechner selbst tritt freilich die Eigentümlichkeit
dieses Verfahrens nicht recht hervor, daß es die ersten Glieder zweier Ent¬
wicklungen nach der Taylorschen Reihe, also zwei durch Weglassen der
höheren Potenzen entstandene Annäherungen einander gleich setzt, nicht
aber, wie [277], den vollen Wert und eine Annäherung.
Fechner selbst trennt aber ferner auch vor allem nicht s und h von¬
einander ab, wie es hier im Anschluß an das konsequentere Verfahren I bei
Müller sogleich geschah, sondern benutzt wieder h' und k'1), also statt
Gleichung [277] einfach
1) Dabei sucht Fechner, was keine weitere Bedeutung mehr hat, das Vorzeichen
+ k statt — k zu verteidigen.