Die Bestimmung eines hypothetischen Kollektivgegenstandes.
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anwendbar wäre. Indessen würde man hiermit keineswegs, wie es der Zweck
dieser Methode ist, das mittlere Quadrat der in den unmittelbar beobachteten z
enthaltenen „Fehler“ zu einem Minimum machen, sondern dasjenige der Ab¬
weichungen der nicht unmittelbar beobachteten t. Diese sind aber zu
jenen „wahren“ Fehlern keineswegs proportional, sondern stehen eben erst
nach [271] durch die transzendente Funktion Çp(t) zu ihnen in Beziehung.
Die wirklichen Beobachtungsgleichungen für den gewöhnlichen
Ansatz dieser Ausgleichungsmethode wären also vielmehr die
Gleichungen von der Form [271] selbst, also das System:
Zi =Y + y s>(h(d, — s))
+ [274]
Da diese Gleichungen aber nun nicht linear sind, so sind sie, falls man
nicht speziellere Beziehungen auffindet, nach dem viel komplizierteren all¬
gemeinen Schema § 26,b, S. 136ff zu behandeln. Nach Einführung von
Näherungswerten h' und s' sind also erst mittels der Taylorschen
Reihe die Beobachtungsgleichungen [175] mit den Koeffizienten nach [176] zu
gewinnen, die in den noch erforderlichen Verbesserungen g = h — h' und
rj = s —s' linear sind. Freilich müssen die Näherungswerte hierbei
schon hinreichend genau sein, damit die höheren Potenzen von
£ und rj der Taylorschen Reihe wirklich außer Betracht bleiben
dürfen. Fechner hat nun gezeigt1), daß ein System von p Gleichungen
von der Form [273] immerhin wenigstens zu einer sehr bequemen Berech¬
nung brauchbarer Annäherungen ff und a verwendet werden kann, die
er als Summationsverfahren bezeichnet. Er teilt das System [273] nach
der Größe von t in zwei Gruppen (bei einem ungeraden p wird die mittlere
Gleichung einfach weggelassen) und summiert die ~ bzw. ^ Gleichun¬
gen jeder Gruppe, woraus sich zwei neue, alle Beobachtungen äußerlich
gleichmäßig berücksichtigende Gleichungen für ff und s ergeben. Dabei
kommt es nun bereits darauf an, ob man nur einen analytisch möglichst
genauen Ausdruck für sämtliche Beobachtungen z sucht, oder den unter den
tatsächlichen Verhältnissen wahrscheinlichsten Wert von s und h ermitteln
will. Im letzteren Falle könnten dann natürlich auch hier den einzelnen
Gleichungen bereits Gewichtsfaktoren hinzugefügt werden (vgl. S. 145f.).
Da aber doch noch nicht genaue Werte, sondern nur Annäherungen und
zwar auf möglichst einfache Weise gewonnen werden sollen, sehen wir in
unserem Beispiele von dieser letzteren Operation noch völlig ab.
In unserem Zahlenbeispiele aus Tab. 5, Fig. 4 sind zunächst alle z auf
Prozente zu bringen, weshalb wir die absoluten Häufigkeiten in je ns = 50
1) Über die Methoden der richtigen und falschen Fälle in Anwendung auf die
Maßbestimmungen der Feinheit oder extensiven Empfindlichkeit des Raumsinnes. Abh.
der math.-phys. Kl. der K. sächs. Ges. d. Wiss. Bd. XIII. 1884. S. 213 ff.