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W. Wirth, Psychophysik.
als im Wesen des Gegenstandes selbst liegend hierbei niemals experimentell
auszuschalten. Wenn man also z. B. die Schwankungen der einzelnen rel.
H. ziv — F (ai) eines Urteiles, die bei r-fach wiederholter Absolvierung der
Gruppen zu je m Darbietungen für die nämliche Reizstufe ai zu konsta¬
tieren sind, wirklich als rein zufällige Effekte einer konstanten
Mannigfaltigkeit unkontrollierbarer Nebenbedingungen im Sinne
des § 20 soll auffassen können, so muß ihr mittleres Fehlerquadrat, bezogen
2 ziv
auf das arithmetische Mittel zi = —zuzi(l — zi) proportional sein. Da
nun in der Praxis diese Annahme jedenfalls am nächsten liegt, solange
weder über die spezielle Verteilung noch über die Ursachen der Variation
der zir unter möglichst konstanten systematischen Bedingungen etwas
Näheres bekannt ist, und da außerdem die strikte Widerlegung ihrer an¬
nähernden Gültigkeit immer nur an der Hand eines sehr ausgedehnten, nach
großen Vielfachen ganzer Versuchsgruppen zu zählenden Materiales möglich
wäre, so wird bei Ausgleichungen einer Urteilsfunktion F(a) nach § 30 und
31 diese spezielle Gewichtskorrektur, wie sie Urban in seinem dort näher
erläuterten Verfahren vorgenommen hat, in Ermanglung anderer positiver
Regeln vorläufig wohl angewendet werden können. Dabei sind freilich die
Gewichtsunterschiede, die bei einer von 0 bis 1 aufsteigenden Kurve der
Urteilshäufigkeit (vgl. § 14,3) durchlaufen werden, keineswegs unbeträchtlich.
Da zi(l — zi) für Zi = 0 und =1 verschwindet, so daß bei konstantem m das
Gewicht
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an den Extremen E und E', wo eben F (a) = 0 bzw. 1 ist, unendlich groß
werden würde, so muß man natürlich auch hier, wie beim einfachen E.-G.
überhaupt, auf eine strenge Deckung der beobachteten und der theoretischen
Verhältnisse in der Nähe der Extreme von vornherein verzichten. Denn
man wird den in einer oder in einigen wenigen Reihen beobachteten Extremen
nicht für alle beliebigen Reihen genau den nämlichen Wert 0 bzw. 1 zu-
d. h. der mittlere Fehler ist in Wirklichkeit bei endlichem n etwas größer, als er bei der
einfachen Anwendung der Formel [18] ausfallen würde, und ähnliches gilt für die
übrigen charakteristischen Fehler. Da indessen bei genügend großem n dieser Fehler
(«P_51) für uns kaum in Betracht kommt und außerdem bei der stets erreichbaren
Gleichheit des n der verglichenen Mittelwerte vollständig zu vernachlässigen ist, so
werden wir im folgenden von dieser ohnehin ziemlich komplizierten Überlegung keinen
Gebrauch machen und D und M überall einfach nach [17] und [18] bestimmen. Aus
einer Verallgemeinerung dieser Betrachtung, welche in dem Nenner n — 1 bei der Mes¬
sung einer einzigen Größe a die Zahl der überschüssigen Beobachtungen sieht, läßt
sich dann auch die oben S. 134, A. 1 gegebene Korrektur des vergleichbaren mittleren
Fehlers einer Bestimmung nach der Methode der kleinsten Quadrate ableiten. Da min¬
destens m Gleichungen zur Bestimmung von m Unbekannten ohne Ausgleichung nötig
sind so wird dort die Präzision der Ausgleichung mit der Quadratwurzel der Zahl
n — m der überschüssigen Beobachtungsgleichungen fortschreiten, so daß bei sonst
gleichem Gewicht der einzelnen li
M =
V
Vi2 + v22 + . • • vn2
n — m
[191]
