Volltext: Handbuch der physiologischen Methodik, Dritter Band, Zweite Hälfte: Zentrales Nervensytem, Psychophysik, Phonetik (3)

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W. Wirth, Psychophysik. 
unterwerfen, um sie noch genauer zu berechnen, bis man die Fehlerkurve 
von systematischen Einflüssen hinreichend befreit zu haben glaubt. 
b) Das allgemeine Schema für die Ausgleichung bei nicht linearen 
Beobachtungsfunktionen (das sogen. Korrektionsverfahren). 
Die Funktionen, die im nächsten Kapitel nach diesem Ausgleichungs¬ 
verfahren zu behandeln sein werden, sind jedoch teilweise nicht von so ein¬ 
facher Form wie die lineare Gleichung [161], auf die sich die Ableitung der 
Gaußschen „Normalgleichungen“ [166] allein bezieht. Hat man es also 
mit algebraischen Gleichungen höherer Ordnung oder, wie unten, 
mit transzendenten zu tun, so muß man aus diesen zunächst erst 
einmal lineare Gleichungen ableiten. Das einfachste und bei end¬ 
lichen und stetigen Funktionen ganz allgemein anwendbare Hilfsmittel hierzu 
ist die teilweise Entwicklung der Taylorschen Reihe, d. h. des Satzes 
f(x + h) — f(x) = h-f1 (x) + J^f2 (x) H----i 2! _ n fn(x + fth), [171] 
wobei fn (x) den n ten DifFerentialquotienten von f(x) nach x bedeutet. 
Dieser Satz gilt bei Weglassung höherer Potenzen von h wenigstens mit 
einer gewissen Annäherung. Zur Erzielung von linearen Hilfsgleichungen 
hat man sich freilich auf die weitgehendste Abkürzung 
f(x + h)-f(x)=t-^ [172] 
zu beschränken. Bei unendlich kleinem h wäre dies natürlich einfach die 
Definitionsgleichung des Differentialquotienten 
dy f(x + h)-f(x) 
dx h 
die aber auch bei kleinem endlichen h ebenfalls noch annäherungsweise 
dy 
zutrifft, und zwar um so besser, je weniger und je ruhiger sich ^ mit x 
. . d2y 
ändert, je kleiner also hiermit die höheren Ableitungen f2 (x) = usw. aus- 
fallen. (Am vollständigsten träfe dies natürlich bei einer geraden Linie zu, 
bei der alle höheren Ableitungen ganz verschwinden, die aber eben anderer¬ 
seits dieses Umweges für die Normalgleichungen gar nicht bedarf.) 
und zwar beschränkt man sich bei dem Cauchy sehen Verfahren auf die Koeffizienten 
+ 1,0, — 1. Allerdings kann von diesen Voraussetzungen aus das Resultat kein mini¬ 
males Fehlerquadrat garantieren. Es können höchstens die zufälligen Abweichungen 
der +1, 0 und — 1 von den zu jenem Erfolge wirklich befähigten ai, bi usw. wiederum 
eine Art von Kompensation einseitiger Verschiebungen herbeiführen. Man wird daher in 
allen Fällen, wo über die Fehler nichts Bestimmtes bekannt ist, besser von der Methode 
der kleinsten Quadrate Gebrauch machen, wie es auch bei unseren Ausgleichungen in § 31 
geschehen wird. Beiläufig bemerkt, wäre bei dem Cauchy sehen Verfahren natürlich 
wegen der prinzipiellen Freiheit hinsichtlich der Ai, usw. die bei der Methode der kleinsten 
Quadrate unzulässige Multiplikation einzelner B.-Gleichungen mit verschiedenen Fak¬ 
toren nicht zu tadeln, falls sie eben nur bequemeres Rechnen erlaubt als die Beschrän¬ 
kung auf +1, 0 und — 1.
	        
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