Hauptwerte und Streuungsmaße im allgemeinen. 
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und das System [163] geht dadurch über in 
0 = (at x -j- bj y d- Cj z — lt) a^ -]-••• (anx -)- bny 4“ cnz ln) an 
0 = (at x + bt y + z — lj) bj +...... 
0 = (a,x + b1y + cxz — 14) ct +...... [!64] 
Multipliziert man hierin aus und bezeichnet die Summen, welche die Koeffi¬ 
zienten der x, y, z bilden, mit dem Gaußschen Summensymbol, wonach 
[a a] = a,{ at + a2 a2 4----an an = N ai ai 
[ab] = aA bj 4“ a2 b2 4----an bn = 2 ai bi [165] 
usw., 
so ergibt sich schließlich die geläufige Endform der Normalgleichungen: 
[aa] x 4- [ab] y 4- [ac] z = [al] 
[ab] x 4- [bb] y 4- [b c] z = [b 1] [166] 
[a c] x 4- [b c] y 4- [cc] z = [cl]. 
Hieraus sind dann x, y, und z nach Einsetzung der gegebenen Werte ai, 
bi, Ci zahlenmäßig zu berechnen. 
3. Für die praktische Lösung eines solchen Systems linearer Gleichungen 
durch sukzessive Reduktion der Unbekannten und für die Rechnungskontrollen 
ist natürlich im allgemeinen auf die fachmännischen Darstellungen zu ver¬ 
weisen.1) Da es jedoch einer wünschenswerten größeren Verbreitung der 
Anwendung dieser Methode in der Psychophysik dienlich sein dürfte, die 
fertige Lösung für mindestens zwei oder drei Unbekannte schnell zur Hand 
zu haben, so gebe ich sie hier für die beiden, unten in § 31 a und b erforder¬ 
lichen Fälle mit 2 und 3 Unbekannten, wobei also im ersteren Falle einfach 
c = 0 zu setzen ist. Bei 2 Unbekannten x und y ist alles symmetrisch: 
A B 
x N’ y—N 
A = [a 1] |b b] — [ab] [bl] [167] 
B = [b 1] [a a] — [ab] [al] 
N = [aa][bb] — [ab]2. 
Bei drei Unbekannten x, y, z ergibt sich durch sukzessive Reduktion, 
die z. B. zuerst z, dann y und endlich x finden läßt: 
NC —BD 
z NE — D2 
[168] 
N = [aa] [bb] — [ab]2 wie vorhin 
B = [aa] [b 1] — [ab] [a 1] wie vorhin 
C = [aa] [c 1]—[ac][a 1] 
D = [a a] [b c] — [a c] [ab] 
E = [aa] [c c] — [a c]2 
1) Bruns, Grundlinien des wissensch. Eechnens 1903, S. 153f. — Czuber, a. S. 
a. O., S. 308 ff.