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W. Wirt h, Psychophysik.
kann. Denn es führt wenigstens für denFall, daß die vorausgesetzte Funktion in
allen Unbekannten linear ist, daß also das System der B.-Gl. [159] die Form
h = a-ix bi y -j- Ciz [161]
und das System der Fehlergleichungen die Form
Vi = aix + biy + ciz — h [161a]
annimmt, sogleich zu bequemen Rechenvorschriften für die Unbekannten x,
y, z. Dies ist aber eben das Prinzip der sogen. „Methode der klein¬
sten Quadrate“, die Gauß zunächst im Anschluß an das einfache E.-G.,
dann aber auch unabhängig hiervon in dieser allgemeinen Weise begrün¬
dete: Man suche x, y und z so zu bestimmen, daß das mittlere
Fehlerquadrat der in Gl. [160] definierten Fehler Vi
M2 = V| 2 + V22 H----vn2
n
nach allen drei möglichen Variationsrichtungen der Abstufung
des x, y oder z ein Minimum darstellt. Die so gefundenen Werte
haben also dann innerhalb der sämtlichen Möglichkeiten, aus denen sich
andere Fehlersysteme ergeben würden, eine analoge Stellung, wie das arith¬
metische Mittel einer einzelnen Beobachtungsgröße.
Aus der soeben formulierten Bedingung 'für M2 ergeben sich ohne
weiteres die sogen. Gaußschen „Normalgleichungen“ für die „Aus¬
gleichungen“ nach dieser Methode. Es wurde soeben zunächst festgesetzt, daß
UP = d«(v12 + V22+ •••VD2) dfl^y i2
d x d x d x
dM2_d«Nvi2_n
dy dy
dM2_daNVi2 =
dz dz
[162]
sein soll, wenn a = — gesetzt wird. Das System [162] umfaßt also so viele
Gleichungen, als Unbekannte zu bestimmen sind. Läßt man in allen Gliedern
den Faktor 2 und a weg, so wird hieraus
0 = Vj
0 = vt
0 = vl
d V| dv2
^ + v’lx +■
<5 Ti , v S V2
~öj+
+ ■
TL + ^-T1+-
dvn
Vn 6x
dvn
' vn
dy
d Vn
Vn ~öz '
[163]
Setzt man nun die Vi aus [160] bzw. [161a] ein, so wird
dvj
d x
— ai
dvi
*7
= bi
d Vi
