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W. Wirth. Psychophysik.
duziert ist, wie es in dem 23(x) von Gleichung [145] vorausgesetzt ist.
Es müssen also sämtliche z von dort, die in dem Rechenbeispiele auf S. 94
nur in dem bei § 14, 3 erläuterten Sinne als rel. H. anzusehen waren, noch
durch
Eo
y® (x) dx = i • 2z
Èu
dividiert werden, um auch im Verhältnis zur Summe aller Fälle, die in der
Verteilung Üß(x) nach S. 85ff. einbezogen sind, relative H. auszudrücken.
Setzt man dann für diese ~— wieder einfach zx, so wird also unser Doppel-
2j z
integral, da zp hier verschwindet,
Eo
J /*93(x)dxdx = i (p — 1) zt + (p — 2) z2 ... + 1 • zp _ i). [146]
Eu
Es ist somit bis auf den S. 90 als irrelevant erwiesenen Restbetrag,
also mit der völlig ausreichenden Annäherung der Formel [85a]:
21 = Eo — i [(p — 1) zt + (p - 2) z2 + . . . zp-j. [147]
Dies ist aber genau der nämliche Ausdruck, den man nach der Formel [16]
ohne Interpolation direkt aus dem beobachteten unstetigen K.-G. ab¬
leitet1). Die Form ist nur insofern etwas verändert, als man die Abszissen
zunächst alle von dem oberen Extrem E0 = xp aus rechnet, so daß auch
das arithmetische Mittel schließlich selbst in dieser 4 orm erscheint. (Dieses
Verfahren besitzt bekanntlich sogar eine praktische Bedeutung, wenn die
betrachteten Abszissen sämtlich große, unter sich aber wenig differierende
Werte sind. In diesem Falle läßt uns diese Reduktion der Abszissen be¬
quemer mit kleineren Zahlen wmiter operieren.) Subtrahiert man nämlich
in dem Ausdrucke [16] S. 45 für 21 von den Abszissenwerten 21 und Xi> das
obere Extrem E0, so ergibt sich bei äquidistantem Intervall i
21 = E0 — (E0 — xA)zl + (E0 — x2)z2 ... + (E0 xp_i)zp_i
= E0 — i[(p — 1) zi + (p — 2) z2... + zp _ i],
also in der Tat ein mit [147] identischer Ausdruck.
4. Auch der Ausdruck für M2 bei stetigem 23 (x) läßt sich durch partielle
Integration so weit auswerten, daß er aus einer gegebenen Reihe von Ordi-
naten z0, Zl,...zp der Verteilung mittels der numerischen Integration mit
genügender Annäherung zu berechnen wäre. Indessen geben wir hier nui
die allgemeinen analytischen Formeln, die zur Ableitung dei Beziehung zum
arithmetischen Mittel 21 ausreichen. Die numerische Berechnung von M2 an
der Hand der hier gewonnenen Formeln soll uns dagegen erst wieder m
1) Vgl. Wundt, Psychol. Studien VI, S. 312.