Hauptwerte und Streuungsmaße im allgemeinen.
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so ist
JX • 33(x)dx :
Eli
X /3S(x) dx
-//*«-
ïdx.
Eu Eu
Zur Vereinfachung des letzten Ausdruckes denkt man sich nun die bei der
Auswertung unseres bestimmten Integrales beliebig anzusetzende Integrations¬
konstante C in (/53(x)dx so gewählt, daß
also
C = -
53(x)dx.
x = Eu
[144a]
Dadurch wird dieses Integral im ersten Gliede rechts für x = Eu zu Null,
Eo
während es für x = E0 zu j 5§(x)dx, also nach [9] der Einheit gleich wird.
Eu
Somit ist im ganzen
Eo Eo
21 =yx • SS(x)dx = E„■ 1 — E„-0— Jdxdx
Eu Eu
Eo
= Eo—j' f53(x)dxdx, [145]
Eu
oder: Das arithmetische Mittel 51 ist gleich dem oberen Extrem E0
der Verteilung desK.-G., vermindert um das zwischen denExtremen
genommene Doppelintegral über die Verteilungsfunktion $B(x),
falls die hierbei inbegriffene Konstante C des einfachen Inte¬
grales, über die hierbei immer erst noch zu entscheiden ist, in der
genannten Weise als
C = — Aö(x)dx
J x = Eq
gewählt wird. Auf diesem wichtigen Hilfssatze werden wir vor allem
im nächsten Kapitel von einem anderen Gesichtspunkte aus weiterbauen.
Hier verwenden wir ihn nur zur Auswertung von 51 unter der gewöhnlichen
Voraussetzung, daß 5S(x) selbst in einer endlichen Anzahl von relativen
Häufigkeiten z0, zl . . . zp beobachtet worden sei, wobei z0 = zp = 0. In
diesem Falle ist also dann das Doppelintegral in [145] nach der Annäherung
[85a] S. 94 f. zu berechnen, wobei allerdings noch' zu berücksichtigen ist,
daß dort die Summe der Ordinaten noch nicht auf die Einheit re-
