Hauptwerte und Streuungsmaße im allgemeinen.
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Vor allem sind aber nunmehr die ebenso allgemeinen Beziehungen
hervorzuheben, die bei jeder beliebigen Verteilungsform zwischen
bestimmten Hauptwerten und Streuungsmaßen bestehen. Lassen
diese Beziehungen zunächst schon im allgemeinen die Bedeutung der ge¬
wählten Repräsentanten unter einem besonderen Gesichtspunkt verstehen,
so können sie in gewissen Fällen, in denen eine direkte Berechnung der
Hauptwerte nicht möglich ist, zur indirekten Bestimmung derselben ver¬
wendet werden, wie im nächsten Paragraphen bei der sog. Methode der
kleinsten Quadrate näher auszuführen sein wird.
2. So unterstützen sich besonders der Hauptwert des arithmetischen
Mittels 91 und das Streuungsmaß des mittleren Fehlers M gegenseitig in
ihrer besonders unbestrittenen Geltung als Repräsentanten dieser Art durch
die wichtige, schon von Gauß später unabhängig von seinem E.-G. ver¬
wertete1) Beziehung, daß für jede beliebige Verteilungsfunktion der
mittlere Fehler M ein Minimum wird, wenn man die Abweichungen
auf das arithmetische Mittel 91 als Ausgangswert bezieht, wie leicht
zu beweisen ist:
Schon in der Diskussion des einfachen E.-G. (S. 107) wurde ja eine
Eigenschaft des arithmet. Mittels 91 hervorgehoben, die ihm ganz allgemein
zukommt, also insbesondere auch unabhängig davon, ob die Verteilung eine
symmetrische ist. Nach [115] verschwindet der sog. „resultierende Fehler“ R,
d. h. die Summe der mit ihrem Vorzeichen angesetzten Abweichungen
(x — a), wenn der Ausgangswert a =91 ist. Dieser Ausgangswert, derR = 0
werden läßt, erweist sich aber nun auch als diejenige Größe des a, die M
zu einem Minimum macht. Dies läßt sich zunächst wieder am einfachsten
bei einem unstetigen K.-G. überschauen, bei dem nach [18]
M2 = Vt 2ZX + V2 2Z2 + .. . Vn2Zn,
wobei also die z wieder die relativen Häufigkeiten bedeuten und die vv nach
[102] die Abweichungen (a — xv) sind. Zur Auffindung unserer Beziehung
haben wir nun wiederum ebenso wie bei der Ableitung des einfachen E.-G.
S. 105 f. den Ausgangswert a als die Variable zu betrachten, nach der dann
auch der Ausdruck für M2 zur Berechnung des Minimums differenziert werden
muß. Es wird also M2 und daher auch M für dasjenige a ein Minimum, das
sich aus der Gleichung
dM2
da
= 2 Vl zj
da
2 v2 z2
dv2
da
+ ...2vnzn-^ = 0, [142]
bzw., da sämtliche
dvv d(a—• Xv)
da da
aus
0 = v1 z{ -j- v2 z2 -f . . . Vn Zu
[143]
berechnen läßt. Denn daß es sich nur um ein Minimum handeln kann, er-
1) Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae. Commentationes
soc. reg. Sc. Gotting, rec. V, 1823.
