i3] Zur Kinematik des Listingschen Gesetzes. 13 
nach links gezeichnete Strecke), wird nun in den Punkten Pv 
P2, P3 und allen anderen Punkten des größten Kreises gegen diesen 
ebenfalls um den Winkel e geneigt sein. Es müssen daher die zu 
dieser zweiten Querlinie gehörenden Richtungskreise in den Punkten 
Pv P2, P3 den größten Kreis P() I\ J\ I\ II unter dem Winkel s auf 
der Kugelfläche schneiden. 
Man kann sich leicht davon überzeugen, daß dies die durch 
Pv P2, P3 usw. gehenden Kugelkreise tun, welche durch den Gegenpol 
Pf des Primärpunktes hindurchgehen und daselbst eine gemeinsame 
Tangente besitzen, die der Richtung der zweiten Querlinie im 
Primärpunkte P0 parallel läuft. Denkt man sich nämlich durch 
P0 und H denjenigen größten Kugelkreis (P0QH in der Figur) ge¬ 
legt, welcher die zweite Querlinie in P0 zur Tangente hat, so 
wird dieser in Pf eine parallele Tangente besitzen und nicht nur 
in P0, sondern auch in ff gegen den größten Kreis P() P1P2 P3 PL 
um den Winkel e geneigt sein. Dies folgt einfach aus dem 
geometrischen Satze, daß irgend zwei sich schneidende Kreise auf 
einer Kugelfläche in beiden Schnittpunkten denselben Winkel mit¬ 
einander bilden. Jeder andere Kreis, welcher mit P0QH in ff die 
Tangente gemein hat, und infolgedessen in Pf mit dem Kreis P0P1P2P3H 
auch den Winkel e bildet, wird daher diesen letzteren Kreis zum 
zweitenmal, also z. B. in Px, P2, P3, ebenfalls unter dem Winkel 
£ durchkreuzen. Es bilden daher in der Tat alle diese Kreise 
Richtungskreise für die zweite Querlinie, wenn sie auch im all¬ 
gemeinen keine größten Kreise auf der Kugelfläche darstellen. 
Es ist am einfachsten, dieselben als Schnitte der Kugelfläche mit 
Ebenen aufzufassen, welche durch die zur Primärstellung der 
zweiten Querlinie parallele Kugeltangente im Gegenpol ff des 
Primärpunktes P0 hindurchgehen. 
Man kann sich leicht davon Rechenschaft geben, daß das 
letztere Resultat ganz unabhängig davon ist, welche Richtung die 
zuerst angenommene Querlinie besaß, für die der größte Kreis 
P0P1P2P3Pf einen Richtungskreis abgab, und wie groß dem¬ 
nach der Winkel £ ist, um welchen die zweite Querlinie von 
der ersten abweicht. Behält man die zweite Querlinie bei, 
nimmt aber als erste Querlinie irgend eine andere im Längs¬ 
punkte auf der Länglinie senkrecht stehende Gerade, so ändert 
zwar auch der durch P0 und Pf gehende größte Kreis P0P1P2P3Pf 
seine Lage auf der Kugelfläche, als Richtungskreise der zweiten