Bauhaus-Universität Weimar

Titel:
Schiffbauhölzer bis zyprische Erde
Person:
Lueger, Otto Frey, Ernst
Persistente ID:
urn:nbn:de:gbv:wim2-g-3207626
PURL:
https://digitalesammlungen.uni-weimar.de/viewer/resolver?urn=urn:nbn:de:gbv:wim2-g-3214133
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Trägheitsmoment 
Für homogene, geometritch einfache Körper läßt lich das Trägheitsmoment für beliimmte 
Achten berechnen lzbjyzdV oder J:e.L'yF Vi, wo dV das Volumenelement und e die 
Dichte des Körpers bedeuten; man beziehtJ meilt auf Schwerachten; es belteht dann die Auf- 
gabe, das Trägheitsmoment des zu untertuchenden Körpers auf eine beliebige Achte zu be- 
ziehen. Man zerlegt diete Aufgabe in zwei Teile und bezieht J zunächtt auf eine Achte z, die 
parallel zur Schwerachte z' im Abltande e : Vaz -1- bz b; liegt. Da die Transformationsgleichungen 
für das gellrichene und ungeftrichene Koordinatentyttem  yzb-l-y, to wird 
        
da jx'dm:0 und ty'dm:0 für  als Schwerachten beliebt; es folgt lzzJä-l-etm; 
man erhält alto das axiale Trägheitsmoment bezogen auf eine beliebige z-Achte, wenn zu 
dem Trägheitsmoment bezogen auf die parallele Schwerachte z' das Trägheitsmoment der Ge- 
tamtmatte, die im Schwerpunkt vereinigt ilt, ezm hinzugefügt wird. Eine analoge Formel gilt 
für das polare und planare Trägheitsmoment, wenn e den Abttand beider Pole oder beider 
Ebenen voneinander bedeutet. 
Die zweite Teilaufgabe erfordert die Berechnung des Trägheitsmomentes für eine be- 
liebig gerichtete, durch den Schwerpunkt S oder durch einen andern Punkt O gehende Achte s. 
Wählt man dieten Punkt O zum Urtprung des orthogonalen Koordinatentyttems x,y, z und 
bezeichnen a, ß, y die Richtungskolinus von s mit dieten Achten, to erhält man JSISySZdm 
    
Jy : j gßdm : j (xz  22) dm, Jz I S 912 dm : im? 4-512) dm die Trägheitsmomente des Körpers 
bezüglich der Achten x,y, z, und Cxyzixy dm, Cyzzjyzdm, Czxr-"jzx dm die Devia- 
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tions- oder Zentrifugalmomente bedeuten. Führt man als Variable ein S: Vm w I y-i. 
 ß .  2'    5 "s 
v: Vm F:  ,  Vm  :  , to erhalt man die Gleichung: 
 
die lich geometritch als Elliptoid mit dem Punkt O als Mittelpunkt darttellen läßt (Trägheits- 
ciliptoid). Da  und äa-l-rß-f- 3:? ill, wo r den Leitttrahl von O nach dem 
Durchdringungspunkt der Drehachte durch das Trägheitselliptoid bedeutet, to wird durch 
Quadrieren und Addieren  Der Leitttrahl itt demnach gleich dem umgekehrten Wert 
des Trägheitshalbmetters. Wählt man die Hauptachten dieter Fläche als Koordinatenachten 
und bezeichnen J„ .12, .13 die zugehörigen Trägheitsmomente, to vertchwinden die Zentrifugal- 
momente. Das Elliptoid wird dann in der einfacheren Form 9  oder 
E2 112-!- nzrzz-l-liz afzl dargettellt. Die Hauptachten bezeichnet man als Hauptträgheitsachten 
des Körpers für O. Das Elliptoid heißt Cauchy-Poinfottches Trägheitselliptoid für 
den Punkt O und fnsbefondere für den Schwerpunkt Zentralelliptoid, da Cauchy und 
Pointot das Trägheitselliptoid eingeführt haben. Errichtet man in den Endpunkten der 
Längen x Ebenen tenkrecht zu ihnen, to umhgillen lie ein zweites Elliptoid mit dentelben 
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l-lauptachten, deften Gleichung L2 4- lz- -l- TSZ-zl itt, und das zuerlt von Mac Cullagh 
Z Z 
angegeben und zur Konttruktion lder Trägheitsrädien benutzt wurde. Bei dietem lind M1, m, M, 
direkt die Größen der Halbachten, während es beim Cauchy-Pointottchen Elliptoid die rezi- 
proken Werte lluv 114, 11x, lind. Beide Ellipfoide lind reziproke Figuren zueinander. Auch für 
die Trägheitsmomente für Ebenen können in ähnlicher Weite derartige Elliptoide konltruiert 
werden. Die Hauptachten für einen Punkt O können als die Normalen dreier durch O gehen- 
der, um den Mattenmittelpunkt S betchriebeneg, konfgkaler Flächen zweiter Ordnung, wor- 
E2 Y 
unter das Elliptoid von der Gleichungiz-l- 5-f- 752- :l itt, gefunden werden. Die Achten 
Z  
eines Punktes O gleichen Trägheitsmomentes bilden äine Kegelfläche zweiten Grades um O 
als Mittelpunkt. In jedem Punkt O gibt es eine Achte des größten und eine des kleinlten 
Trägheitsmomentes. Sie lind die Hauptachten, deren Achtenlänge im Cauchy-Pointottchen 
Elliptoid die kleinlte und größte lind. Das Trägheitselliptoid eines Punktes O kann in eine 
Kugel übergehen, und es können für einen tolchen Punkt die Trägheitsmomente aller Achten 
gleich werden. Solcher Punkte gibt es im allgemeinen höchltens zwei, und zwar nur dann. 
wenn das Zentralellipfoid ein Rotationselliptoid um die Achte des größten Trägheitsmomentes 
ilt, im Abttande i Vzf-uf vom Mattenmittelpunkt S (Kugelpunkt). 
Die Auswertung der Trägheitsmomente gefchieht mit Hilfe der Integralrechnung. Daneben 
gibt es tynthetitche Methoden, die von den Verwandtfchaften der Figuren, der Kongruenz, 
Aehnlichkeit, Affinität, Kollimation und Reziprozität Gebrauch machen. 
In der Tentorrechnung (t. Vektoren) itt das Trägheitselliptoid die Fläche zweiten Gra- 
des, die aus dem Tentor T: ex ; (Jx ex -I- Cxy ey-l- Cxz 92) -l- ey ; (Cyx ex -i- Jy ty-l- Cyz 92) 
 ez; (Czx ex-l- Czy Qy-l-Jz 62) erhalten wird, worin ex, ey, e; die Einheitsvektoren in Richtung 
der x, y, z-Achten bedeutet. Bezeichnet e den Einheitsvektor der Drehachte s, to wird e Te: J: 
das Trägheitsmoment bezogen auf die s-Achte. 
Literatur: Häton de la Gouppilliere, Memoire sur une Theorie nouv. de la geom. des 
masses, Journ. de l'ecole polytechn., Cah. XXXVII; Moigno, Legons de Mecanique analyL, 
Statique, Paris 1868; Jullien, Problemes de mecanique, 2. Aufl., Paris 1866; Reye, Beilf- z" d- 
Lehre v. d. Trägheitsmom, Zeittchr. f. Math. u. Phylik, Bd. 10, S. 433, und Einfache Darltell. d. 
Trägheitsmom. eb. Fig., Zeittchr. d. Ver. deutlch. Ing., Bd. 29, S. 401; Schlömilch, Ueber d. Be- 
ltimm. d. Matten u. Trägheitsmom. fymmetr. Rotationskörp. v. ungleichtörm. Dichtigkeit, Abhandl.
        

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