Bauhaus-Universität Weimar

Titel:
Schiffbauhölzer bis zyprische Erde
Person:
Lueger, Otto Frey, Ernst
Persistente ID:
urn:nbn:de:gbv:wim2-g-3207626
PURL:
https://digitalesammlungen.uni-weimar.de/viewer/resolver?urn=urn:nbn:de:gbv:wim2-g-3214118
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Trdgheitsellipfoid  Trägheitskreis 
Hebelarme; der Punkt A als Mittelpunkt der ttatifchen Momente fällt daher mit dem Schwer- 
punkt S zufammen. Gleich wie A der Schwerpunkt der auf a bezogenen ttatifchen Momente 
ift, fo fei B der Schwerpunkt der auf b bezogenen ltatifchen Momente (Fig. 2). Dann iit das 
Zentrifugalmoment Z auch gleich yb ZMF-  Fällt A mit b zufammen, fo wird 
2:0; folglich ift auchyb : 0, und es fällt auch B mit a zufammen (Fig. 3). Dreht {ich b um A, 
fo bewegt {ich B auf a; dem Punkte A entfpricht fomit umgekehrt (und zwar eindeutig) die 
Linie a. Dem Schnittpunkte C von a und b entfpricht ferner die Verbindungslinie c von A 
und B. Da diefe Beziehungen allgemein gültig lind, fo folgt, daß die Achten und die ihnen 
entfprechenden Punkte ein Polarfyitem bilden, deffen Mittelpunkt der Schwerpunkt S ift. Er- 
fetzt man die Punkte A durch die fymmetrifch zu ihnen gelegenen Punkte A' (Fig. l), fo be- 
iitzt das Polarfyttem eine reelle Ordnungskurve, und zwar eine Ellipfe, die man .Trägheits- 
ellipfe' oder ,Zentral- 
   AF ellipfe" der Figur nennt. f 
x   U X D 
  51   X 4 A  e  lgl 
b S; ß: b "in-cm? 5   
 q:      r 
A0 (Y yi 2); a C  
  s. , 
i; in!     K 
Äi     B 4'  
 iT-i a  G a 
Fig. 1. Flg. 2. Fig. a. Fig. 4. 
Heißt manA den Antipol (f. d.) von a, fo ergeben {ich folgende Sätze: Das Zentrifugal- 
moment einer Figur in bezug auf zwei Achten itt gleich dem Flächeninhalte multipliziert mit 
dem Abftande des Schwerpunktes von der einen Achte und mit dem Abltand des Antipols 
diefer Achfe von der zweiten (Z:F-ys  xa). Das Trägheitsmoment einer Figur in bezug auf 
eine Achfe ilt gleich dem Flächeninhalte multipliziert mit den Abftänden des Schwerpunktes 
und des Antipols von der Achte (JIF-ys-ya). Sind die Achten in bezug auf die Ellipfe 
zueinander konjugiert, d. h. geht die eine durch den Pol der andern, fo wird 2:0. Wird 
die Figur durch zwei aufeinander fenkrecht ttehende Achfen fymmetrifch geteilt, fo lind diefe 
Achten die Ellipfenachfen. 
In der Fig. 4 bilden die Punktepaare A G, DE und Soo eine lnvolution (f.  Folg- 
lich ilt SA : S1) :SE: SG. Hieraus folgt (xa-xs) : k: izy; oderys  xazys  xs-j-i- k. Das 
Zentrifugalmoment ift daher auch Z: F(ys  xs-j- i  k) und das Trägheitsmoment Jzl-"(yß  
da i2:(ya  alfo ys-yaz? 4-5112 ift. Gehen beide Achfen durch den Schwerpunkt, 
fo wird Z:F- i- k und J:F- F, womit die Uebereinftimmung unterer Ellipfe mit der ana- 
lytifch abgeleiteten Trägheitsellipfe nachgewiefen ift. 
Literatur: Culmann, Graph. Statik, Zürich 1875, Guidi, Lezioni di Statica graf., Torino 
l88ßfl887; Ritter, W., Schweiz. Bauzeitung 1888, Bd. ll, S. 121. (f W. Ritter) Mörfdz 
Trägheltsellipfoid, geometrifch abgeleitet. 
Gleichwie die Trägheitsellipfe einer ebenen Figur, fo läßt {ich auch das Trägheits- 
ellipfoid eines Körpers geometrifch ableiten. Ift V das Volumen des ganzen Körpers und 41V 
dasjenige eines Elementes, und nennt man y und x die Abftände des Elementes von zwei 
Ebenen r: und ß, ferner y; den Abftand des Schwerpunktes von der Ebene a, fo ift lfaV-y) 
: V-ys. Erfetzt man die A V durch ihre ftatifchen Momente A V-y und beftimmt deren Schwer- 
punkt A, fo ift, wenn ya und xa die Entfernungen des Punktes A von den beiden Ebenen 
bezeichnen, das Zentrifugalmoment Z: V   xa und das Trägheitsmoment J: V-ys -ya. Die 
weiteren Betrachtungen zeigen, daß die Ebenen 1x und die Punkte A zufammen ein räumliches 
Antipolarfyftem bilden, deffen Ordnungsiläche das Trägheitsellipfoid ift. (1- W. Ritter) Mörfdz 
Trägheitskreis, M0 hrfcher. Der von Mohr (1888) angegebene Träghelts- 
kreis bietet eine überlichtliche Darftellung der Trägheits- und Zentrifugalmomente 
beliebiger Flächen auf Achfen, die durch einen Punkt gehen. Er erfetzt daher 
vorteilhaft die Träghertsellipfe bei allen die Biegungslehre betreffenden Aufgaben. 
Durch einen beliebigen Punkt O (Fig. 1) feien zwei Achten (x) und (y) gelegt, die mit- 
einander irgend einen Winkel einfchließen. Die lotrechten Abttände des Flächenelements dF 
einer beliebigen Figur von diefen Achten feien x und y. Die Entfernung des Teilchens dF von 
O fei g, ferner feien a und ß die Winkel, welche der von O nach dF führende Strahl mit den 
Achfen (x) und (y) bildet. Alsdann ift das Zentrifugalmoment von dF in bezug auf die beiden 
Achten: dZxyIdF-yz-Sinrz-Sill ß. 
Legt man nun durch den Achfenfchnrttpunkt O einen beliebigen Kreis mit dem Radius r, dann 
ilt die Sehne AC:2r- sina, und der Abltand des Punktes C von der Kreisgehne AB iit 
:2r  sin a  sin ß. Wenn man daher dem Punkt C eine Maffe von der grüße  beilegt, fo 
ift das ltatifche Moment dieferMaffe in bezug auf die Sehne AB:   2r- sina-sinßzdZxy- 
Denkt man {ich nun zu jedem Flächenelement dF der ebenen Figur den zugehörigen Kreis- 
punkt und die letzterem beizulegende Maffe bellimmt und fchließlich den Schwerpunkt Taller 
diefer Matfenpunkte ermittelt, fo erhält man, wenn T von der Sehne AB den Abftand hxy hat. 
dF  92 hxy  Jp 
202W T": 
        

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