Prinzip der lebendigen Kraft
Prinzip der virtuellen Gefdzwindigkeiten
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Bei vier Kolben ilt das durch geeignete Wahl der Abltände der Kolbenachfen und der Kurbel-
ltellungen llets zu erreichen (S chlickfcher Maffenausgleich bei Schiffsmafchinen).
Literatur: Schell, Theorie d. Beweg. u. d. Kräfte, 2. Aufl., Bd. l, S. 352, Bd. 2, S. 521,
Leipzig 1879; Budde, Allgem. Mech., Bd. l, S. 348, Berlin 1890; Appell, Traite de mecanique
rationelle, Bd.2, S. 76, Paris 1896; Föppl, Vorlef. üb. techn. Mech., Bd. 4, Dynamik, S. 117,
Leipzig 1901; Autenrieth-Enßlin, Techn. Mech., Berlin 1922. Eifenmann
Prinzip der lebendigen Kraft. Das Prinzip von der Erhaltung der Energie
(f. Lebendige Kraft) erhält bei feiner Sonderanwendung auf die Bewegung eines Punkt-
iyftems in einem Krafifeld (f. Potential) die mathematifche Formulierung L-l-dazE-zkonst,
wenn L: 25m o2 die kinetilche Energie oder lebendige Kraft, d) die potentielle Energie be-
deuten, und wird dann auch Prinzip der lebendigen Kraft genannt. Die Bewegungsgleichungen
(f. Differentialgleichungen der Bewegung) müffen durch eine zweifache Integration auf-
gelöft werden; das Prinzip gibt bei konfervativen Syftemen eine erlte lntegration. Eifenmann
Prinzip der virtuellen Gefchwindigkeiten oder der virtuellen Ver-
lchiebungen ilt ein allgemeiner, von Joh. Bernoulli aufgeltellter Satz, um
in jedem Fall eine Ausdrucksform für das Gleichgewicht (l. d.) eines Kräfte-
fyltems, das an einem Malfenfyltem angreift, zu finden. Das Prinzip beiagt: ein
Syltem befindet fich im Gleichgewicht, wenn bei jeder unendlich kleinen vir-
tuellen Verfchiebung des Syltems aus der Gleichgewichtslage die (algebraifche)
Summe der Arbeitswerte der angreifenden Kräfte verfchwindet (bzw. unendlich
klein höherer Ordnung wird).
Im allgemeinen ift das Syltem der Malienpunkte nicht frei beweglich, fondern an Be-
dingungen geknüpft, welche die Einführung von Bedingungskräften (Bindungs-, Zwangs- oder
Reaktionskraften) erfordern. Diele Bedingungen heißen nach H. Hertz holonom, wenn lie durch
Gleichungen zwifchen den Koordinaten der Maflenpunkte gegeben lind, und nicht holonom,
wenn in diefe Gleichungen außerdem noch die unendlich kleinen Verfchiebungen (bzw. die
Gefchwindigkeitskoordinaten) eingehen. Veränderungen des Syltems, die mit diefen Bedingungen
verträglich, aber fontl beliebig lind, heißen virtuelle Verfchiebungen.
Das Prinzip läßt iich in der allgemeinen Form nicht beweifen, da über die Realifierung
der vorausgefetzten Bedingungen nichts ausgefagt wird; da {ich aber für Einzelfälle der Beweis
erbringen läßt. fo ltellt es deren Zufammenfafiung und natürliche Erweiterung dar. Wendet man
das Prinzip auf ein Punktfyltem von v Maflenpunkten an, die den n vorgefchriebenen holonomen
Bedingungen F220... FMIO unterliegen, und wirken auf den Malfenpunkt m1
mit den Koordinaten xi, yi, z: die refultierende treibende Kraft Ri:(Xi, Yi, Zi). fo wird bei
virtueller Verichiebung ötri:(ilxi, öyr, ilzr) die virtuelle Arbeit lüöyi-j-Zrözi).
Die Verfchiebungen ri lind hierin jedochFnicht völlig willkürlich, fondern haben noch den
All-Bedingungen ä öxi -j- g? öy; 4-2371: öz; : 0 zu genügen. Eliminiert man mit Hilfe
diefer Bedingungen y-Verfchiebungen 3x1", öyr. fo wird die virtuelle Arbeit 6A nunmehr nur
durch ßw-iz-Verichiebungen Öxi, öyi. ausgedrückt, die jetzt aber völlig unabhängig von-
einander lind. Da öA:0 auch beftehen muß, wenn bei willkürlicher Wahl diefer Verfchie-
bungen alle Summanden in 6A politiv werden, fo mülien die Faktoren von öxr, öyr. ein-
zeln verfchwinden; man erhält fomit 3 v u Gleichgewichtsbedingungen, die mit den Bedingungen
zufammen, falls diefe holonom find, bei gegebenen Kräften die Gleichgewichtslage beftimmen.
Nicht holonome Sylteme haben bei gegebenen Kräften noch unendlich viele Gleichgewichtslagen.
Anftatt öxr. mittels der Bedingungsgleichungen zu eliminieren, kann man auch nach dem
Anfatz von Lagrange jede der y-Bedingungsgleichungen mit einem noch zu beltimmenden
Multiplikator 1.„ Ä, 7.1; in entfprechend multiplizieren und dann den Ausdruck für die vir-
iuelle Arbeit 8A durch Hinzufügen diefer differenzierten holonomen bzw. der nicht holonomen
Bedingungsgleichungen erweitern. Auch diefer erweiterte Ausdruck derArbeit verfchwindet, da die
hinzugefügten Glieder Null lind. Die Faktoren l werden nun fo beltimmt, daß die Faktoren der
öxi. ufw. einzeln gleich Null gefetzt werden. Man erhält fomit 3w-Gleichgewichtsbedingungen
zu ,u holonomen Bedingungsgleichungen, die hinreichend und notwendig lind, um die Bv-Koor-
dinaten und p-Faktoren Ä. zu beftimmen; die mit den h; verfehenen Summanden der Gleichgewichts-
bedingungen haben die Bedeutung von Bedingungskräften (Bindungs-,Zwangs- oder Reaktionskraf-
ten), welche die Aufrechterhaltung der Bedingungsgleichungen bewirken (f. Gleichgewicht).
Gleichgewicht auf einer glatten Fläche von der Gleichung F(xyz):0 (11010-
nome Bedingungsgleichung). Es wirke eine Kraft X, Y, Z auf einen Punkt x, y, z der FläClle-
Bedingungsgleichung für die Verfchiebungen: ö x -l- gig 3 y 4h ö z I0. Erweiteräe; An-
F '
fatzanach L agra nge flärliiie virtuelle Arbeät; f) A : Xöx-f YräyF-l- Zöz-j-Ä ö x -l- B? öy
F
: Ä- .7 : d Gl
-j- B: 32) 8x) äx-j- (Y-j-A 8y)Jy-j- (Z-j-z 82:) äz 0, woraus ie eich
gewichtsbedingungen folgen: X: 2. , Y: l g; , ZI- ii 12;, die zufammen mit
F :0 ausfagen, daß im Gleichgewichtsialle die Flächennormale im Angriffspuäilge mit der
Richtung der Kraft übereinltimmt, und daß die drei Komponenten der Reaktion l 6-? , 2. gg ,
i. denen der Kraft entgegengefetzt gleich lind.
