Bauhaus-Universität Weimar

Titel:
Masse bis Schiffbau
Person:
Lueger, Otto Frey, Ernst
Persistente ID:
urn:nbn:de:gbv:wim2-g-3198731
PURL:
https://digitalesammlungen.uni-weimar.de/viewer/resolver?urn=urn:nbn:de:gbv:wim2-g-3203973
Kräften  
Potential von 
503 
Da U eine eindeutig durch den Zuftand beftimmte Größe iit, fo ift öU ein vollitändiges Dif- 
ferential und damit auch die linke Seite der letzten Gleichung. Letztere ftellt [ich auch dar als 
die Arbeit der inneren Kräfte ox-   Tyz auf dem Weg öex   äyyz    an der Volum- 
einheit und itt durch Spannungs- und Formänderungszuftand (im letzteren itt auch der Einfluß 
der Temperatur enthalten) bettimmt. Da 6' U ein vollftändiges Differential ift, laffen {ich 0x    
Tyz-   als partielle Ableitungäen einer Funktion w des Dehnungszuftandes darftellen, alfo 
(I) ö (P 
migx...) -8-Vyj:'ryz...  
Es gelten entfprechende Integrabilitätsbedingungen wie unter „Potential von Kräften' (Ro- 
tation:0). U ilt die innere Energie der Volumeinheit (potentielle Energie der inneren Kräfte 
und innere Wärme). Auch für eine ifotherme Zullandsänderung gibt es nach [1] S. 113 eine 
Funktion (D, die ein vollftändiges Differential des Verzerrungszuftandes ift; es gibt alfo eine 
adiabatifche und eine ifotherme Verzerrungsenergie-Funktion; ihr entfprechen in Gleichung (2) 
adiabatifche und ifotherme Elaftizitätskonlianten. 
Sieht man von der kleinen, mit einer elaftifchen Expaniion bzw. Komprefiion verbundenen 
Abkühlung bzw. Erwärmung ab, behandelt alfo, wie üblich, den elaftifchen Vorgang als adia- 
batifch und ifotherm, fo ift U das elaftifche Potential oder die potentielle Energie der inneren 
Kräfte. Bei Kräftegleichgewicht ift dann in dt sek die Arbeit der äußeren Kräfte (Reibungs- 
arbeit ausgefchloffen) gleich der Aenderung der potentiellen Energie der inneren Kräfte äA 
Imö U  dV. Da auf der rechten Seite eine Zuftandsfunktion fteht, muß dies auf der linken 
Seite auch der Fall fein, die äußeren Kräfte an einem elaftifchen Körper haben ebenfalls ein 
Potential, das partiell abgeleitet werden darf. Die partielle Ableitung der Formänderungsarbeit 
der äußeren Kräfte nach einer Kraft ift der Formänderungsweg diefer Kraft in deren Richtung; 
hiermit werden in der höheren Fetiigkeitslehre itatifch unbeftimmte Kräfte ermittelt. 
Nach der Elaftizitätslehre (f. d.) des homogenen ifotropen elaltifchen Körpers lind 
die Spannungen lineare Funktionen der Dehnungen bzw. Schiebungen und das elaftifche Poten- 
tial d) eine homogene quadratifche Funktion der Spannungen bzw. Dehnungen und Schiebungen 
(315. 272 und es latfen fich die Gleichungen 84918 ßxzrrx uff. beftätigen. 
Literatur: [l] Love,  Theorie d. Elattiz, deutfch v. Timpe, Leipzig-Berlin 1907.  
{21 Hamel, G., Element. Mech., Leipzig-Berlin 1912.  [3] Grashof, Feftigkeitslehre, Berlin 1866. 
Enßlin 
Potential von Kräften. Die Arbeit einer Kraft P mit Komponenten xyz, die eine 
ftetige Funktion des Ortes xyz ift, auf dem Weg ds mit Komponenten dx dydz ilt 
dAzXdx-kYdy-l-Zdz. 
Die Gleichung ift im allgemeinen nicht integrierbar ohne Kenntnis des Verlaufs von P 
längs s, d. h. dA ilt im allgemeinen kein vollftändiges Differential; dA ilt nur dann ein folches, 
wen" dA-ßiax-l-Üd 4- Üaz 
_8x a y y a z ' 
wenn alfo X:ELA; Y: 8A; ZIBA, 
dx 8 y 82 
womus 35: ÜZ. U: 82. 92: 83 
8y' 8x' 82 8y' 8x 82 
als lntegrabilitätsbedingungen. In diefem Fall ilt  eine Zultands- 
funktion, die durch den Anfangs- und Endzuftand eindeutig beftimmt ift. Die Stellen jzkonst. 
des fog. Kraftfeldes liegen auf einer Niveaufläche. Diefes Kraftfeld hat die Eigentümlichkeit, 
daß die Kraft tich darftellen läßt als die Aenderung der Arbeit beim Fortfchreiten um die Weg- 
einheit n:l fenkrecht zur Niveaufläche, mit andern Worten als Gradient einer fkalaren Orts- 
funktion, hier der Arbeit. f heißt Potential der Kräfte, auch Potential- oder Kräftefunktion. 
Manche Autoren bezeichnen  als Potential, andere -f. Im letzteren Fall ilt die Arbeit gleich der 
Abnahme der potentiellen Energie (z. B. Maffe im Schwerefeld) und das Potential f die potentielle 
Energie. Alle Zentralkräfte lind Potentialkräfte, Reibungskräfte nicht. Bei einem Kreisprozeß 
längs einer beliebigen gefchloffenen Linie im Kraftfeld, der in den Anfangszuftand zuriickführt, 
wird ebenfoviel Arbeit zurückgewonnen wie aufgewendet, es ift gödA :0, die Zykelarbeit ift 
Null. Die Potentialkräfte (ind konfervativ, Relbungskräfte difiipativ, mit Energieverluft verknüpft. 
Potential der Verrückungen. Sind EnC die Verriickungen des Körperpunktes xyz 
in den Richtungen xyz (f. Elaftizitätslehre) und befteht eine Funktion F(xyz), deren 
vollftändiges Differential lich ausdrückt: 
  8 F 8 F 8F  
     
fo heißt F ein Potential der Verrückungen. Es ift dann wie beim Potential der Kräfte  
 8F_1__ 8F_ C _8F_ 
b; 8x8 I'_E?y y 8_8z, 
E v_ I, Z  8.3  85 
esünd 8y_8x' 82  8y' 8x  82 
die Bedingungen für ein folches Potential (Integrabilitätsbedingungen). 
Ein kleines Teilchen eines elattifchen Körpers erfährt durch äußere Belaftung eine elatiifche 
Verformung (Dehnungen und Schiebun en) und eine Bewegung (Translation und Rotation); 
die Rotation hat die Komponenten Öäläy-J-iqjöx uff. und ift invariant gegen Koordinaten- 
transformation. Rotations- oder wirbeltrei heißt der Zuftand eines Teilchens, wenn feine Rotation 
Null itt. Gilt dies für fämtliche Teilchen eines gewiffen Bereichs, fo betteht in diefem ein Ver- 
rückungspotential. Sonft gilt Iinngemäß das vom Kräftepotential Gefagte.
        

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