Bauhaus-Universität Weimar

Titel:
Hebelarm bis Mass
Person:
Lueger, Otto Frey, Ernst
Persistente ID:
urn:nbn:de:gbv:wim2-g-3188643
PURL:
https://digitalesammlungen.uni-weimar.de/viewer/resolver?urn=urn:nbn:de:gbv:wim2-g-3190460
Integralrechnung 
163 
z) Ein Partialbruch von S liefert ein Integral   Durch die Subtlitution 
:_L kommt man auf einen Inte randen, in deffenNenner nur eine Quadratwurzel fleht, 
y x  a g 
alfo auf den Fall Aeßl zurück. Ebenfo verfährt man auch, wenn F(x):0 eine mehrfache 
Wurzel hat und daher ein Integral  vorliegt.  
 T 
Wurzeln, fo vereinigt man die betreffenden Flartialbrüche und erhält 
(ux a) d x 
MQ ivuxwzbxtßnifßÄ-TJEE  
Man fetzt nun xzeTiLf- und beltimmt M und N fo, daß im Nenner unter dem Wurzel- 
s "V 
zeichen und außerhalb desfelbgn glie Glieder mit S wegfallen. Das Integral wird damit: 
d d S 
l m7 Ami-a "yyä'i . 
 c. Iftaeeßavl. sie C. 
Im erllen Integral hat man fchließlich vÄäz-f- C1: C, im zweiten Vxäziäzä zu fetzen, 
um liefgtionaözudmacheml l A d- k k f d  H 
y wei ua ra wurzen je aus einem inearen us ruc ommen au en a ß zurück. 
ö) Eine Quadratwurzel aus einem Ausdruck dritten oder vierten Grads führt auf elliptifche 
Integrale (f.  eine Ausnahme bilden jedoch die fog. pfeudoelliptifchen Integrale, bei 
welchen man mit algebraifchen, logarithmifchen und zyklometrifchen Funktionen auskommt, 
Z.   kOmmt  xzr-"E auf den  A 6,8 zurück. 
Vu-xati-kßxa  
f) Tranfzendente Integrale. Beifpiele von folchen lind 
a cosbx-l-bsinbx 
jeßx cos bxdx: e" Wze; 
 snbx-bcosbx dx 
jeßxsinbxdxzeaxl-ik-bä-i; IEI-Äöazlfgxi 
       
jsinmxdx :  -reni (S111 m 1 x 4M em:5 sin "I 2x 4- Imfgfdrlejg- sin m-ö x 4-    
  -l  -3 -l   
Das letzte Glied itt entweder äieväa oder :T, je 
nachdem m gerade oder ungerade. 
Viele Integrale von trigonometrifchen Funktionen können durch die Subltitution t:t i 
g 2 
   l- t"  2 t 21 
rational gemacht werden. Es 111 alsdann nämlich cosx : 1-? ; 5111.26: A5; tg tziz 
2 d t "f- 1 Ä- l 1  l 
d x: "a;  
g) Mehrfache Integrale. Eine Funktion von zwei Veränderlichen kann der Reihe nach 
nach x und nach y integriert werden, wobei im erlten Fall y, im zweiten x als Konltante be- 
handelt wird. Die Reihenfolge diefer lntegrationen itt übrigens vertauichbar: 
Illfvvly) dxl dy Illlfvny) dyl 4x- 
uf diefe Weile entliehen D0 pel- und mehrfache Inte rale. 
A P g 
B. Beftimmte Integrale. 
Die willkürliche Konftante eines Integrals  läßt {ich dadurch be- 
ftimmen, daß das Integral für einen beftimrnten Wert a von x den gegebenen Wert F (a) haben 
foll. Dann wird  Diefer Wert iiI von x und von a abhängig. Das 
Integral heißt alsdann ein beitimmtes Integral und wird mitfxf(x)dx bezeichnet; a heißt 
untere, x obere Grenze desfelben. Dabei kann auch x EIIIEZI beitimmten Wert b annehmen 
f"f(x)dx. Der Wert desfelben iit nur von den Grenzen a und b, nicht aber von der Wahl 
(des Integrationsbuchftabens x abhängig. Vertaufchung der Grenzen bedingt Aenderung des 
Vorzeichenmga f(x) d xI-jb f (x) d x. Durch Differentiation nach der oberen Grenze ergibt 
L1 
8 fxfvddx 
{ich iaT-:f(x), alfo der mtegrand. Auch beftimmte Integrale mit unendlich großen 
Grenzen und folche, deren Integrand an den Grenzen unftetig wird, können endliche Werte 
beiitzen. Auf Unltetigkeitsilellen des Integranden zwifchen den Grenzen muß Rückiicht ge- 
nommen werden. Näheres 1'. [I] S. 91-94. 
In vielen Fällen Iaffen {ich beitimmte Integrale zwifchen gewiffen Grenzen in gefchloffener 
Form (d. h. durch bekannte Funktionen) daritellen, während dies bei dem betreffenden unbe- 
ilimmten Integral nicht möglich iit. Als I-lauptmethode dient hierzu die Differentiation 
und Integration bekannter Integrale nach einer von den Grenzen unabhängigen, im Inte-
        

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